摘要：常微分方程是数学专业学生的必修课程之一，具有推理严谨、公式复杂等特点，对培养学生的逻辑推理能力具有不可替代的作用。文章分析了高阶非齐次线性微分方程课程中出现的几道题目，为该课程的进一步教学改革提供了一点思考。

关键词：线性代数；教学改革；严谨

作为大学数学专業基础课程的常微分方程在整个数学大厦中占有重要的地位。教师在实际教学中，针对学生的解题能力不足，应注意将课程中提到的公式、定理仔细的进行讲解，对于复杂的公式进行具体、细致的提醒，更要让学生针对不同题型多加练习，使学生熟练掌握课程中出现的各种题目，从而达到举一反三的效果。下面，我们以高阶非齐次线性微分方程中出现的几道题目举例，来说明解题思路在教师授课过程中的重要作用。

例1设x-4x″+5x′-2x=2t+3，求该方程的通解。

分析：此题是学生学习了高阶非齐次线性微分方程的右端函数为第一种形式后的题目。这类题目的一般思路为先求对应齐次方程的通解，再求出该方程的一个特解，最后将这两个相加即为非齐次线性微分方程的通解。教师在讲解此类题目时，应将此类题目的具体解题步骤介绍清楚，这样学生就会有一个清晰的思路。若学生掌握了具体方法，相信学生能够做出此题。

解：由题目可知对应齐次线性微分方程为x-4x″+5x′-2x=0，其特征方程为

r3-4r2+5r-2=0，

特征根为：r=1，2，其中1为二重根。因此齐次线性微分方程的通解为

x*=（c0+c1t）et+c2e2t。

下面再求原方程的一个特解。观察题目发现右端函数中eλt里面的λ=0，因此不妨设原方程的一个特解形如x0=B0+B1t。将其代入原方程可得

5B1-2B0-2B1t=2t+3。

比较系数有B0=-4，B1=-1，则x0=-t-4。

因此原方程的通解为：x=x*+x0=（c0+c1t）et+c2e2t-t-4，其中c0，c1，c2为任意常数。

例2求方程

x″-2x′+2x=tetcost

的通解。

分析：此题是学生学习了高阶非齐次线性微分方程的右端函数为第二种形式后的题目。思路与例1类似，但要注意的是右端函数的不同导致所求特解形式的不同，因此教师在课堂上一定要重点强调右端函数不同时所对应的特解也不一样，让学生明白之间的区别以便于计算。若学生明白了思路和具体的特解形式，相信学生能够顺利做出此题。

解：由题目可知对应齐次线性微分方程为x″-2x′+2x=0，其特征方程为

r2-2r+2=0，

特征根分别为：r=1±i，其对应的实值解为etcost和etsint，因此齐次线性微分方程的通解为

x*=c1etcost+c2etsint。

下面再求原方程的一个特解。设原方程的一个特解形如

x0=t（B0+B1t）etcost+t（C0+C1t）etsint，

将其代入原方程可得

2[（B1+C0+2C1t）cost+（C1-B0-2B1t）sint]et=tetcost。

比较系数有B0=C1=14，B1=C0=0，则x0=14tetcost+14t2etsint。

因此原方程的通解为：

x=x*+x0=（c1+14t）etcost+（c2+14t2）etsint，

其中c1，c2为任意常数。

例3求方程

x″+9x=6e3t，x（0）=x′（0）=0

的初值问题。

分析：此题是在前两种类型题目基础上的进一步扩展，该题不但要求出方程的通解，还要利用已知条件将通解中的参数确定出来才是最终的结果。因此，教师在课堂上在讲解此类题目时，一定要让学生彻底明白之前两种类型题目应当如何计算，才能进一步拓展。甚至学生只要明白了前面两种题型，那么此题也可以做出。

解：由题目可知对应齐次线性微分方程为x″+9x=0，其特征方程为

r2+9=0，

特征根分别为：r=±3i，其对应的实值解为cos3t和sin3t，因此齐次线性微分方程的通解为

x*=c1cos3t+c2sin3t。

下面再求原方程的一个特解。设原方程的一个特解形如

x0=Ae3t，

将其代入原方程可得

18Ae3t=6e3t。

比较系数有A=13，则x0=13e3t。

因此原方程的通解为：

x=x*+x0=c1cos3t+c2sin3t+13e3t，

其中c1，c2为任意常数。

又因为x（0）=x′（0）=0，所以有

c1+13=0

3c2+1=0

从而得出满足初值问题的解为x=-13cos3t-13sin3t+13e3t

通过上面几道例题的分析，我们可以看到对于高阶非齐次线性微分方程这部分内容解题的一些重要技巧和方法，事实上都是建立在对两类右端函数的具体运算的思路非常明确的基础上进行的。这说明教师在课堂上对于此类问题的讲解，一定要将解题的具体思路、方法讲解透彻，同时还需要学生进行大量的练习，才能使学生达到较好的学习效果。

参考文献：

[1]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者简介：

赵侯宇，重庆市，重庆师范大学数学科学学院。