胡格宁

【摘要】投资者在投资过程中，既要考虑到既得利益，又要承担投资失误的风险。而组合投资是当前权衡利益和风险采用的主要投资方式。为了定量分析如何对多种投资项目进行投资额度分配，本文通过建立数学模型，给出了组合投资的收益-风险模型，并根据现实情况以及投资者的偏好，对模型进行处理，得到三种简化模型。

【关键词】投资 风险 数学模型

一、背景介绍

随着市场经济的快速发展，投资成为人们密切关注的话题，普通市民也都热衷于投资于各类股票、基金，而对于各种大小企业来说更是如此。但是这样的投资又存在着一定的风险。不是每一次投资都能百分之百获得利润，所以怎样缓解与解决赢利与风险之间的矛盾，是每一个投资者亟待解决的问题。

一般说来，在现代商业、金融投资中，投资者总是希望实现收益最大化，关注于采用什么样的投资方式可以使总收益最大。然而投资是要承担风险的，而且高收益总是伴随着高风险，收益与风险之间存在着难以调和的矛盾。如何能使同一时期内所得利润最大？如何应对风险，或在利润和风险同时较大的情况下如何合理安排投资？这成了人们越来越关注的问题。

二、问题提出

市场上有n种资产（股票，债券等）可以选择作为投资项目，某公司有有数额为M的一笔资金可作一个时期的投资。公司财务分析对这n种资产进行了评估，估算出在一時期内购买si的平均收益率为ri，风险损失率为qi。当投资越分散时，总体风险越小，公司确定，在进行若干种资产投资时，总体风险可用投资的si中风险最大的一种风险来衡量。

购买si要支付交易费，若购买额xi超过额定值ui时，交易费率为pi，否则按ui计算。假设同期银行利率为ro，且既无风险又无交易费。（r0=5%）。根据n种资产的相关数据，提出一个投资组合方案，用给定资金M投资这n种资产或存入银行，使净收益尽可能大且风险尽可能小。

三、组合投资模型的建立

为了简化问题，首先作下列假设：

第一，投资数额十分巨大，为了便于计算，令M=1；

第二，将总体风险用si中最大风险表示；

第三，相对而言，piui太小可忽略不计，即不考虑交易定额；

第四，要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小。

（一）组合投资通用模型

组合投资将两种或多种收益与风险水平有所区别的资产组合起来，通过分配不同资金投资，将多种资金的优势集中发挥以填补诸多不足之处，从而使投资者用一定资金获得最大的收益的同时降低风险。

该问题需设计一个投资组合方案，这是一个优化问题。要确定各种投资资产的额度，要求目标满足：净收益尽达到最大，而总风险达到最小，因此，这是一个多目标优化问题。

设投资si的投资资金为xi，其收益为fi（xi），则

■

交易费用与其购买资金有关，设投资si的资金xi，所需支付的交易费为Ci（xi），则

■

其中C0（X0）=0。

投资si的净收益Ri（Xi）为投资的收益与交易费之差，即

■

由于交易费ci（xi）是分段函数，使得问题讨论起来比较复杂，难于计算。一般来说，若投资项目si，其投资额xi都会超过ui，根据假设3，piui相对于总的投资额M很小，可以忽略不计。因此，在下面的模型建立中，不考虑各投资的定额。

设投资Si的风险为

■

其中q0=0。

投资净收益总额为

■

投资总风险为

■

组合投资的约束条件为所有投资所需（购买费用与所需手续费之和）为M，即

■

在实际计算时，可设M=1，从而上述约束为

■

因此，总收益最大，总风险最小的多目标优化模型为

■

（二）组合投资简化模型

一般情况下，通用模型中的两个目标是不可能同时达到，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的。因此，不可能提出同时满足这两个目标的最优决策方案，只能在一定的前提下，满足一个目标：在风险一定的情况下，使得净收益达到最大，或者在总收益一定的情况下，使得总风险达到最小，或者在收益和风险按固定偏好比例分配的情况下，达到最优决策方案。基于上述思路，可以将多目标优化模型，简化为单目标优化模型，便于计算。

设该投资者能承受的最大风险度不超过K（qiXi≤k），追求风险度k以下的总盈利最大值，可以有相应的投资方式。而这样就将多目标规划模型转变成单一目标线性规划模型。市场中，投资者能承受的最大风险不同，这就有了不同的投资组合方式选择。市场上常见的投资风格大体可概括为三种：激进型、稳健型和保守型。

激进型投资是指通过获得股票价格产生的价差为目的的投资。激进型投资者多将资金投放于价格波动幅度大的股票种类，如热门股、投机股等，并频繁买卖，以承担较大风险来获取利益。稳健型投资是指风险居中的投资方式，稳健型投资者多有一定风险承受能力，但仍希望获得稳定的较高收益。保守型投资方式是指风险较低的投资方式，保守型投资者大多只适量投资自己熟悉的或者已获利的资产，不轻易投资新项目。

下面分别对三种投资风格建立模型。

模型1：激进型投资模型

投资者选择更多高收益的资产，其风险承受度较高。假设投资的风险水平是，即要求投资总风险限制在以内，即

■

此时，通用模型中总风险目标就转化为了约束条件，从而得到简化模型1：

■

模型2：保守型投资模型

假设投资者希望总净收益在水平l以上，即

■

在此前提下，满足投资总风险要达到最小，从而得到简化模型。

■

该问题是极小极大规划问题，不便宜计算，因此，引入变量x■= ■q■x■，将其转化为线性规划问题

■

模型3：稳健型投资模型

若投资者既要考虑净收益最大，又要考虑总风险最小，可以设置一个投资偏好参数■，则通用模型可以简化为

■

类似模型2，引入变量■，将模型3改为线性规划模型

■

四、总结

本文讨论组合投资的收益与风险，建立以总净收益和总风险为目标的多目标优化模型，结合实际投资情况，对模型进行简化，通过控制风险使净收益达到最大，保证净收益使得风险最小，以及引入投资偏好系数，兼顾了收益与风险，将多目标规划模型转化为单目标模型。

上述建立的简化模型，正好对应了投资的三张风格：激进型、保守型和稳健型。在本文中，大多数稳健型的投资者总能在追求收益的同时降低投資风险过高所带来的损失，因此在实际问题中，考虑到投资者的偏好，稳健型投资方式达到了最优组合投资的标准。在现实生活中，稳健型的投资总是为人们所青睐，正是因为它能够使投资者的投资最有目的。

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