周 宇，孔 敏，张 磊

(1.皖西学院 机械与车辆工程学院，安徽 六安 237012；2.皖西学院 智能照明与显示技术工程中心，安徽 六安 237012)

齿轮传动是机械传动中最重要的传动之一[1](P186)，本文研究的设计方法，是利用工程计算软件PTC Mathcad Prime针对齿轮传动按最小体积进行优化设计，并把设计结果定义为输出以参数形式传递给三维设计软件Creo Parametric，实现数据的关联。Mathcad是美国参数公司推出，现已广泛应用于工程力学、数字信号处理等领域[2]，其特点是：具有易于使用的界面，结合了实时数学符号、单位智能和强大的计算功能[3]。

1 在Mathcad中建立齿轮优化设计的数学模型

使用优化设计解决工程实际问题，必需根据设计对象的要求建立相应的数学模型，其包括目标函数、设计变量和约束条件[4]。

1.1 目标函数和设计变量的确定

对齿轮传动来说，希望在传递指定功率、转速和满足寿命要求下使各级齿轮具有最小体积，以期减小设备的体积和质量[5](P195)。

已知两级齿轮传动的齿轮体积总和为[5](P195)：

(1)

式中，d1，d2，d3，d4是高、低速级齿轮的分度圆直径，b2和b4是高、低速级中大齿轮的宽度；β1和β2是两级齿轮的螺旋角，u1和u2是高、低速级传动比，mn1和mn2是高、低速级齿轮的法面模数；z1和z3是高、低速级的小齿轮齿数。

式(1)中属于独立变量的有：mn1，z1，u1，β1，mn1，z3，u2，β2。引入齿宽系数φ1和φ2，经整理，得以齿轮体积总和为最小目标的Mathcad表达式：

(2)

1.2 约束条件

1.2.1 以赫兹应力作为接触疲劳强度计算的基础应力，得高速级的齿面接触疲劳强度的约束条件[1](P201)，[6]

(3)

1.2.2 将载荷作用于齿顶、并由一对齿轮承担时的齿根弯曲应力作为基础应力，得适用于中等精度齿轮传动弯曲疲劳强度的约束条件[1](P199)

(4)

低速级的齿面接触和齿根弯曲疲劳强度的约束条件同高速级。

1.2.3 模数的约束

根据传递的功率、扭矩和实践可估计：

(5)

1.2.4 齿数的约束

闭式齿轮传动中，小齿轮的齿数应满足[1](P205)

(6)

1.2.5 几何干涉约束

根据高速级大齿轮与低速轴不干涉条件[7](P148)，[8]

(7)

式中，da4是高速级大齿轮的齿顶圆直径，E高速级大齿轮齿顶圆与低速轴线之间的距离[8]。

1.2.6 传动比分配合理的约束[5]

为使高低速级齿轮具有相近的浸油深度，传动比应满足

(8)

2 优化设计实例

设计一硬齿面二级展开式减速器。已知输入功率P1=10 kW，转速n1=960 r/min，总传动比i=7.5，由电动机驱动，工作寿命15年，每年工作300天，两班制，带式输送机工作平稳，转向不变。要求按减速器体积最小来确定总体方案中各齿轮的主要参数。

在Mathcad中进行优化设计的一般方法是通过插入求解命令块完成，其包括估值模块、约束模块和求解器模块，按式(2)～(7)，定义如下求解命令块。

估值模块：

约束模块：

求解器模块：

求得：

把模数圆整为标准值，得减速器高、低速级齿轮传动的4个齿轮优化设计结果，优化结果与按文献[1]所述的传统设计结果对比如表1所示。

表1 优化设计和传统设计结果

把表1中的优化设计结果代入式(2)，得经优化设计后的齿轮传动装置体积：

传统设计结果带入式(2)，得：

结果表明，应用Mathcad优化设计可使体积减少约10%。

3 Mathcad与CREO的集成

Mathcad与CREO的集成，是通过在Creo中创建Prime分析实现[9]。以高速级小齿轮为例，根据设计结果，在Mathcad中定义齿数z1，法面模数mn1，螺旋角β1和齿宽b1为分配输出，如图1所示。

图1 定义Prime到Creo的输出

在PTCCreo Parametric中建立Prime分析和如下数值传递关系：

式(7)～(10)实现了把图1的4项输出参数传递给CreoParametric，建立的齿轮三维模型如图2所示。

实验结果表明，利用Mathcad进行优化设计相对传统的设计方法，可有效减少齿轮传动装置的体积。又通过Mathcad与Creo集成的解决方案，把Mathcad的设计结果传递给Creo建模，实现设计与制造数据的关联，提高了生产的效率。

图2 齿轮三维模型

参考文献：

[1]濮良贵，纪名刚.机械设计(第九版)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]周宇.基于卓越工程师培养目标下应用Mathcad实现《机械设计》教学创新[J].大学教育，2017(10)：66-67.

[3]PTC.PTC Mathcad[EB/OL].https://www.ptc.com/cn/products/mathcad/，2017-11-20.

[4]刘向东，屈钧利.锚杆PDC钻头主要几何参数的优化研究[J].煤矿机械，2010，31(1)：29-31.

[5]汪萍.机械优化设计[M].武汉：中国地质大学出版社，2013.

[6]张慧鹏.基于MATLAB的二级圆柱齿轮减速器优化设计[J].机械设计与制造，2010(4)：79-80.

[7]陈秀宁.机械优化设计[M].杭州：浙江大学出版社，2010.

[8]董恰.基于1stOpt的二级圆柱齿轮减速器优化设计[J].机械传动，2012，36(7)：69-71.

[9]赵慧勇，罗永革，张胜兰.基于Pro/ENGINEER MathCAD分析的变速器一挡齿轮组设计[J].CAD/CAM与制造业信息化，2011(1)：46-48.