☉湖北省秭归县实验中学 李 萍

一题多解，顾名思义就是一道训练题有多种解法，即启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动.如果复习课中充分运用一题多解训练，会让学生受益匪浅.笔者在教学中常和学生共同探讨典型题目的多种解法，以拓展学生思维的广度和深度，锻炼学生思维的灵活性和敏捷性，帮助学生掌握知识的纵横联系，提高学生综合运用能力.现就一道圆的性质复习题，列举以下六种证法来说明.

题目：如图1，AB是⊙O直径，△ABC中，AB=AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，连接DE.求证：BD=DE.

一、四组量的关系定理运用

图1

证法1：如图2，连接AD.

因为AB是直径，所以∠BDA=90°.因为AB=AC，所以∠BAD=∠CAD.所以D（E=B（D，所以BD=DE.

证法2：如图3，连接OD，OE.

因为由证法1可知，D为BC的中点，所以OD为△ABC的中位线.所以OD∥AC，所以∠BOD=∠OAE，∠EOD=∠OEA.

因为OA=OE，所以∠OAE=∠OEA，所以∠BOD=∠EOD，所以BD=DE.

运用的主要知识点有等腰三角形三线合一和圆的四组量关系定理.

图2

图3

图4

二、圆周角定理及推论

证法3：如图4，连接AD，BE.

因为AB是直径，所以∠ADB=∠AEB=90°.

由证法1可知，D为BC的中点，所以ED为Rt△BEC斜边BC的中线，所以DE=BD.

证法4：如图5，连接AD，BE，D（E.因为所对的圆周角∠DBE和∠DAE，所以∠DBE=∠DAE.

因为AB是直径，所以∠ADB=90°.

因为AB=AC，所以∠BAD=∠DAE，所以∠BAD=∠DBE，所以D（E=B（D，所以DE=BD.

这两种证法所运用到的知识点除了等腰三角形三线合一外，主要运用了圆周角定理及推论.

图5

三、圆内接四边形知识运用

证法5：如图6，因为四边形ABDE为⊙O的内接四边形,所以∠DEC=∠B.

因为AB=AC，所以∠B=∠C，所以∠DEC=∠C，所以DC=DE.

由证法1可知，D为BC的中点，所以CD=BD，所以DE=BD.

证法6：如图6，作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，H.因为AB是直径，所以∠ADB=90°.

因为AB=AC，所以∠BAD=∠CAD，所以∠BAD=∠CAD，所以DG=DH.

因为四边形ABDE为⊙O的内接四边形，所以∠DEH=∠B，所以△DEH≌△DBG，所以DE=BD.

一题多解体现了数学思想的灵活性，是学生探索的源泉，是数学课堂发散的思维调动.在课堂上启发学生一题多解，学生思维不拘泥于一个方向、一个框架，而向四面八方延伸，开放性的思维为课堂注入生机，使课堂充满灵动.同时体现出不同的数学思想方法的运用，可以极大开拓学生的思维空间，也为数学课堂注入生机和活力.在解题的过程中，我们不能只停留在找到答案或得到泛泛的解题方法之上，而应该立足一题多解，进行反思和系统化，完善和丰富知识结构，对各种解题方法进行优化，追本溯源，让课堂充满灵动，让思维绽放精彩.H

图6