郑涛，李杰，胡陈君，蒋桂林，郭利强，钱海宁

(1.中北大学 仪器科学与动态测试教育部重点实验室，山西 太原 030051；2.苏州中盛纳米科技有限公司，江苏 苏州 215123；3.淮海工业集团有限公司，山西 长治 047100)

0 引言

半捷联平台内部搭载有惯性测量系统并集成在高旋弹体内部，是一种用于隔离弹体高速旋转，进而达到为惯性测量系统营造良好工作环境的机械装置。此平台在滚转轴向上通过轴承实现与弹体的连接，在俯仰和偏航轴向与弹体捷联[1]。由于滚转轴向上轴承的存在，避免了弹体的滚转角速率直接作用在半捷联平台上，等效减小了高旋弹载环境对平台内部滚转轴向陀螺的量程要求，从而实现对平台姿态角高精度解算的目的，其中平台与弹体滚转轴向的相对转角通过光电编码器测量得到。滚转轴向上的轴承在实现半捷联平台与弹体连接的同时，还起到隔离弹体滚转角速率的效果；轴承摩擦力矩越小，半捷联平台摆动角速率越小，则隔离弹体滚转角速率的效果越好，反之隔离效果越差[2]。

在保证平台转动惯量和质量偏心不变的情况下，为进一步减小半捷联平台的摆动角速率，提出双轴承嵌套结构，并用来替代原单轴承结构。借助SKF摩擦力矩计算方法对双轴承嵌套结构摩擦力矩进行理论分析，得到弹载环境下双轴承嵌套结构的摩擦力矩理论值。经地面半物理仿真试验验证，理论分析结果与试验结果相符合，证明双轴承嵌套结构比单轴承结构具有更好的隔离弹体滚转角速率效果。

1 半捷联平台组成及工作原理

1.1 半捷联平台组成

半捷联平台是用来搭载传感器的一种机械装置，主要由装载传感器的内筒以及实现内筒与弹体连接的轴承这两大部分组成(见图1)。

如图1所示，内筒部分由采集存储系统、微惯性测量单元(MIMU)以及配重3部分，轴承部分为双轴承嵌套结构。

1.2 半捷联平台工作原理

由于轴承外套圈与弹体捷联，轴承外套圈与弹体有共同的滚转角速率。在轴承外套圈的带动下，轴承会产生摩擦力矩，此摩擦力矩会作用在轴承内套圈上，轴承内套圈与平台支撑轴捷联，那么在轴承摩擦力矩的作用下，半捷联平台在弹体的横截面内做复摆运动[3-5]，半捷联平台等效运动如图2所示。

如图2所示，半捷联平台重心位置在轴承摩擦力矩的带动下，围绕支撑轴点做复摆运动。作用在重心上的动力学模型为

(1)

式中：Mf为轴承摩擦力矩；m为半捷联平台质量；g为重力加速度；L为平台重心位置到支撑轴点的距离；θ(t)为平台重心与竖直方向的夹角；J为半捷联平台转动惯量。

2 双轴承嵌套结构组成

双轴承嵌套结构由内外层轴承嵌套组成。考虑到弹体在发射过程中的高过载，外圈轴承采用角接触轴承7008AC；为了减小轴承摩擦力矩，内层轴承采用深沟球轴承6200. 双轴承嵌套结构具体组成见图3.

如图3所示，轴承小压螺和大压螺用于把深沟球轴承和角接触轴承分别固定在轴承间的连接件上。安装顺序如图3所示，由左向右依次完成。在安装过程中保证两个轴承同轴心，防止产生干扰振动。

当弹体发生转动时，会带动角接触轴承的外套圈发生转动，此时角接触轴承会产生轴承摩擦力矩。在轴承摩擦力矩的带动下深沟球轴承的外套圈发生转动，此时深沟球轴承会产生轴承摩擦力矩。随着轴承摩擦力矩的不断带动，深沟球轴承的外套圈转速不断变大，角接触轴承内外套圈的相对转速减小，导致轴承摩擦力矩逐渐变小。由于深沟球轴承的外套圈转速不断变大，则其产生摩擦力距逐渐变大。因为只有深沟球轴承的内套圈与平台支撑轴接触，所以作用在内筒上的摩擦力矩仅为深沟球轴承产生的摩擦力矩。

3 单轴承与双轴承嵌套结构摩擦力矩的计算

3.1 单轴承摩擦力矩理论值

以往半捷联平台采用的是单轴承结构，为了保证在高过载的环境下半捷联平台可以正常工作，采用角接触轴承7008AC. 根据SKF轴承摩擦力矩算法可以对单轴承结构进行摩擦力矩的计算。SKF轴承摩擦力矩为

M=Mrr+Msl+Ms+Md，

(2)

式中：M为轴承总摩擦力矩；Mrr为滚动摩擦力矩；Msl为滑动摩擦力矩；Ms为密封件摩擦力矩；Md为拖拽损失、涡流和飞溅等导致的摩擦力矩。在半捷联平台上使用的轴承都为开式轴承，也就是不存在密封件，则密封件摩擦力矩Ms不存在。由于拖拽损失、涡流和飞溅等导致的摩擦力矩Md很小，本文只需给出轴承总摩擦力矩的估计值，则Md可以忽略。(2)式可以缩写为

M=Mrr+Msl=Grr(υn)0.6+Gslμsl，

(3)

式中：Grr为滚动摩擦力矩系数；Gsl为滑动摩擦力矩系数；υ为润滑剂工作温度下的运动黏度；n为轴承内外套圈相对转速；μsl为滑动摩擦系数。

对于不同种类的轴承，滚动摩擦力矩系数和滑动摩擦力矩系数表达式不同，其中深沟球轴承的滚动摩擦力矩系数和滑动摩擦力矩系数的计算方法[6]为

(4)

式中：Fa和Fr分别为轴承的轴向压力和径向压力；αF=24.6(Fa/c0)，c0为轴承的额定静载荷；dm为轴承的平均直径；R1、R2、S1、S2为轴承的几何常数，可通过查阅轴承型录得到具体值。

角接触轴承的滚动摩擦力矩系数和滑动摩擦力矩系数的计算方法[7]为

(5)

式中：R3、S3为轴承的几何常数，参见轴承型录。表1为轴承的相关几何参数。

借助半捷联系统进行车床试验，计算当系统以700 r/min的角速率转动时单轴承结构产生的摩擦力矩。表2为平台相关参数。

将表1和表2中相关参数代入(4)式，可得到角接触轴承7008AC的滚动摩擦力矩系数和滑动摩擦力矩系数，再将摩擦力矩系数代入(3)式，其中υ=68 mm2/s，μsl=0.05，可得到轴承摩擦力矩为0.411 9 N·mm.

表1 轴承几何参数Tab.1 Bearing geometry parameters

表2 平台相关参数Tab.2 Relative parameters of platform

3.2 双轴承嵌套结构摩擦力矩理论值

构成双轴承嵌套结构的深沟球轴承与内筒连接则作用在内筒上的摩擦力矩为深沟球轴承产生的摩擦力矩。深沟球轴承产生的摩擦力矩与外层角接触轴承有关，具体作用关系如图4所示。

图4中外层轴承为角接触轴承7008AC，内层轴承为深沟球轴承6200，no为外层轴承外套圈的角速率(r/min)，nc为轴承间连接件角速率(r/min)，ni为内层轴承内套圈的角速率(r/min)，Mo为外层轴承产生的摩擦力矩(N·mm)，Mi为内层轴承产生的摩擦力矩(N·mm)。

外层轴承的外套圈与弹体捷联，因此内层轴承的内套圈与弹体同转速，在弹体的带动下外层轴承会产生摩擦力矩Mo，Mo带动轴承间连接件发生转动。内层轴承的内套圈与轴承间连接件捷联，两者的转速一致。由于内层轴承内套圈的转动会使得内层轴承产生摩擦力矩Mi，此摩擦力矩用于带动内筒转动。基于上述分析，当弹体滚转角速率为700 r/min时，对作用在内筒上的摩擦力矩进行计算：

(6)

式中：Jc为轴承间连接件的转动惯量。摩擦力矩Mo可通过联立(3)式和(5)式得到，摩擦力矩Mi可通过联立(3)式和(4)式计算得到，计算过程所需几何参数见表1. 当外层轴承在弹体的带动下会产生轴承摩擦力矩Mo，此摩擦力矩使得内层轴承产生摩擦力矩Mi，这两个摩擦力矩为一对相互作用力，它们共同决定了轴承间连接件的转速nc.

由于轴承间连接件发生转动，内层轴承会产生轴承摩擦力矩Mi，此摩擦力矩会作用在内筒，使内筒发生摆动[8]，摆动角速率ni具体作用方式为

(7)

式中：Jp为平台转动惯量。在求解Mi时，轴承的滚转角速率为内外套圈的相对角速率，即no-ni. 轴承间连接件的转动惯量为

(8)

式中：rci为轴承间连接件的内径；rco为轴承间连接件的外径。联立(4)式～(8)式，可求得摩擦力矩Mi为0.147 2 N·mm.

双轴承嵌套结构是通过内、外层轴承连接实现对弹丸滚转角速率的二次隔离，结合轴承摩擦力矩计算(3)式可以看出，通过对转速n的二次隔离可以实现对轴承摩擦力矩的二次缩减。外层轴承的外套圈与弹体捷联，因此外套圈的转速与弹丸的相同，此时外层轴承会产生摩擦力矩Mo；外层轴承的内套圈与内层轴承的外套圈捷联，那么外层轴承产生的摩擦力矩Mo会作用在内层轴承上，使得内层轴承的外套圈发生转动，此时弹体的滚转角速率已经被隔离过一次，因此内层轴承的外套圈转速会变低。由于内层轴承外套圈的转动，内层轴承会产生摩擦力矩Mi，此摩擦力矩会作用在内层轴承的内套圈上，使得内层轴承的内套圈发生更小转动，这样通过对弹体滚转角速率的二次隔离实现对轴承摩擦力矩的缩减。

经过理论计算发现，双轴承嵌套结构产生的摩擦力矩减小为单轴承结构摩擦力矩的35.7%. 在保证平台转动惯量和质量偏心不变的情况下，将单轴承结构产生的摩擦力矩与双轴承嵌套结构产生的摩擦力矩分别代入(1)式，并结合4阶、5阶龙格-库塔法[9-11]，得到基于双轴承嵌套结构的平台摆动角速率的幅值为基于单轴承结构的平台摆动角速率幅值的49.7%(见图5)，计算过程中所需参数见表2.

通过理论分析可知，双轴承嵌套结构隔离弹体滚转角速率的效果要优越于单轴承结构。

4 试验验证

为了对基于双轴承嵌套结构的半捷联平台隔离弹体滚转角速率效果进行验证，借助半捷联惯性测量系统在飞行仿真转台上进行地面半物理仿真试验,并控制飞行仿真转台转速为700 r/min，如图6所示。

分别将内置有基于双轴承嵌套结构和单轴承结构的半捷联惯性测量系统安装在三轴飞行仿真转台上进行试验，得到半捷联平台滚转角速率的输出数据[12-14]，如图7所示。

由于平台采用了不同的轴承结构，两个角速率的输出波形会有所差异。通过对图7角速率进行对比发现，当三轴飞行仿真转台转速一定时，基于双轴承嵌套结构的平台滚转角速率减小为基于单轴承结构的平台滚转角速率的50%. 由于系统轴向安装误差角的存在，试验过程中不能保证轴承只存在径向压力，会导致轴承摩擦力矩变化，使得理论值与试验值有所差异，进而导致输出角速率的实际值与理论值之间稍有不同[15-16]。试验结果证明，基于双轴承嵌套结构平台隔离弹体滚转角速率的效果要优于基于单轴承结构的平台。

分别将基于单轴承和双轴承嵌套结构的半捷联平台测得数据进行解算，并与光电编码器所测相对转角相加得到半捷联惯性测量系统的滚转姿态角，与飞行仿真转台滚转姿态角反馈值做对比，得到系统计算的滚转角与转台滚转反馈值的差值，如图8和图9所示。

经图8和图9对比发现，由双轴承嵌套结构组成的半捷联平台计算的滚转角与转台滚转角反馈值的差值，减小为基于单轴承结构的半捷联平台计算的滚转角与转台滚转角反馈值差值的50%，说明基于双轴承嵌套结构的半捷联平台摆动角速率更小，更加利于实现系统精确解算。

5 结论

为了对双轴承嵌套结构的减旋效果进行验证，借助半捷联系统在三轴飞行仿真转台上进行了地面半物理仿真对比实验，分别采集到基于单轴承结构和双轴承嵌套结构的平台滚转角速率，经对比发现在相同实验环境下采用双轴承嵌套结构的平台滚转角速率输出值是采用单轴承嵌套结构的50%，使得滚转角解算精度提高为原来的2倍。说明采用双轴承嵌套结构的摩擦力矩较单轴承结构的摩擦力矩要小，对平台具有更好的稳定效果。在弹体滚转角速率一定时，采用了双轴承嵌套结构的平台具有更好的隔离弹体滚转角速率的效果，利于实现高精度解算。

参考文献(References)

[1] 段晓敏, 李杰, 刘俊, 等. 空气升力对被动式半捷联平台稳定性影响分析[J]. 兵工学报, 2014, 35(11):1813-1819.

DUAN Xiao-min, LI Jie, LIU Jun, et al. Influence of air lift on the stability of passive partial strapdown platform[J]. Acta Armamentarii, 2014, 35(11):1813-1819.(in Chinese)

[2] 段晓敏, 刘俊, 李杰, 等. 制导炮弹用半捷联式惯性导航系统平台设计与试验[J]. 导弹与航天运载技术, 2014(3):20-23.

DUAN Xiao-min, LIU Jun, LI Jie, et al. Design and test of platform with partial strapdown inertial navigation system for guided projectile[J]. Missiles and Space Vehicles, 2014(3):20-23.(in Chinese)

[3] 段晓敏, 李杰, 刘俊. 被动式半捷联平台的动力学模型及其稳定性分析[J]. 兵工学报, 2014, 35(9):1436-1442.

DUAN Xiao-min, LI Jie, LIU Jun. Research on the dynamic mo-del of a partial strapdown platform and the impact analysis of pitching angle and the stability of platform[J]. Acta Armamentarii, 2014, 35(9): 1436-1442. (in Chinese)

[4] 曲光伟, 王艳辉, 邹德滨, 等. 复摆运动状态的研究[J]. 物理与工程, 2009, 19(5):20-23.

QU Guang-wei, WANG Yan-hui, ZOU De-bin, et al. Study on the motion behaviors of the compound pendulum[J]. Physics and Engineering, 2009, 19(5):20-23.(in Chinese)

[5] 汤正新, 李向正, 王明亮, 等. 无阻尼单摆运动方程的精确解[J]. 河南科技大学学报:自然科学版, 2005, 26(5):84-86.

TANG Zheng-xin, LI Xiang-zheng, WANG Ming-liang, et al. Exact solutions for undamped single pendulum equation of motion[J]. Journal of Henan Universityof Science & Technology: Natural Science, 2005, 26(5):84-86.(in Chinese)

[6] 杨海生, 邓四二, 夏新涛, 等. SKF滚动轴承仿真技术进展[J]. 轴承, 2004(4):43-46.

YANG Hai-sheng, DENG Si-er, XIA Xin-tao, et al. Development of simulation technology of rolling bearing in SKF[J]. Bearing, 2004(4):43-46.(in Chinese)

[7] 邓四二, 李兴林, 汪久根, 等. 角接触球轴承摩擦力矩特性研究[J]. 机械工程学报, 2011, 47(5):114-120.

DENG Si-er, LI Xing-lin, WANG Jiu-gen, et al. Frictional torque characteristic of angular contact ball bearings[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(5): 114-120.(in Chinese)

[8] Savadkoohi A T, Lamarque C H, Goutte J D. On the nonlinear interactions and existence of breathers in a chain of coupled pendulums[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2017, 14(5):22-30.

[9] 杨阳. 龙格- 库塔法求模糊微分方程的数值解[D]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学, 2015.

YANG Yang. Numerical solution of fuzzy differential equations by Runge-Kutta method[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2015.(in Chinese)

[10] 富明慧, 梁华力. 一种改进的精细龙格- 库塔法[J]. 中山大学学报:自然科学版,2009,48(5):1-5.

FU Ming-hui, LIANG Hua-li. An improved precise Runge-Kutta integration[J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2009, 48(5):1-5.(in Chinese)

[11] 沈艳, 张丽玲, 张琦智, 等. 基于三阶和四阶龙格- 库塔法的GM(1,1)模型优化及应用[J]. 数学的实践与认识, 2016, 46(7):168-173.

SHEN Yan, ZHANG Li-ling, ZHANG Qi-zhi, et al. Optimization and its application for GM(1,1) model based on the third and the fourth order Runge-Kutta method[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2016, 46(7):168-173.(in Chinese)

[12] Yu M J, Lee S W. Arobust extended filter design for SDINS in-flight alignment[J]. International Journal of Control, Automation, and Systems, 2003, 1(4):520-526.(in Korean)

[13] 周亚东, 董萼良, 吴邵庆, 等. 惯性导航平台角振动抑制技术[J]. 东南大学学报:自然科学版, 2013, 43(1):60-64.

ZHOU Ya-dong, DONG E-liang, WU Shao-qing, et al. Restricting method for angular vibration of inertial navigation platform[J]. Journal of Southeast University: Natural Science Edition, 2013, 43(1):60-64.(in Chinese)

[14] 周亚东, 雷宏杰, 董萼良, 等. 惯性导航平台橡胶减振器斜角布置方法[J]. 振动、测试与诊断, 2014(3):447-451.

ZHOU Ya-dong,LEI Hong-jie, DONG E-liang, et al. The method of angle setting for rubber shock absorber of inertial navigation platform[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2014(3): 447-451.(in Chinese)

[15] Wang H, Han Q K, Luo R Z, et al. Dynamic modeling of moment wheel assemblies with nonlinear rolling bearing supports[J]. Journal of Sound and Vibration, 2017, 406: 124-145.

[16] 张樨, 李杰, 范建英, 等. 半捷联微惯性测量系统同轴度误差解析评定[J]. 兵工学报, 2015, 36(3):503-509.

ZHANG Xi, LI Jie, FAN Jian-ying, et al. Analysis and evaluation of coaxiality error of semi-strapdown micro inertial measurement system[J]. Acta Armamentarii, 2015, 36(3):503-509.(in Chinese)