闫婷婷

（晋中职业技术学院，山西 晋中 030600）

传染病是人类疾病中不可避免且广泛存在的一种疾病，因其种类繁多危害性大且情况各异，所以人类对传染病的研究一直在深入且细化。通过数学模型对传染病的传播过程、病龄结构、预防控制进行细化分析研究，做出疾病控制的有效措施。

在辛京奇等文中基于经典的具有常数输入率和双线性传染率的SIR模型，建立一类具有接种的SIR-V传染病模型，得到了基本再生数，并证明了全局渐近稳定性[1]。杨亚莉等讨论了一类具有接种和因病死亡的SIS-V传染病模型的全局稳定性[2]。本文主要讨论一类具有预防接种的传染病模型，分析其平衡点的类型及无病平衡点和有病平衡点的全局稳定性。

1 模型的建立

如式（1）所示为一种具有预防接种的传染病模型，

其中S(t)表示t时刻易感染者数量，I(t)表示t时刻染病者数量，R(t)表示t时刻恢复者数量。N =S +I+R 表示总人口数量，a1表示出生率与死亡率的差值，a2表示染病率，a3表示接种率，a4表示恢复率。

引理1常数变量公式

2 系统的平衡点分析

定理1 总人口数量N是不变的。

证明 由于 N =S +I +R ，故有

因此N是不变的，即 N= N0。

定理2系统（1）的解是有界的。

证明 因S(t)，I(t)，R(t)均表示人口数量，故S(t)，I(t)，R(t)≥0，又 N =S +I +R，再利用定理1知

系统（1）的平衡点应满足方程组

经计算，知（2）有两个解

设P(S∗,I∗,R∗)为系统（1）的任意一个平衡点，则（1）在P处的线性近似系统的特征方程为

因此系统（1）在1P处的特征方程为：

经计算解得

当 R1＜1时， λ2＜0，因此当 R1＜1时，为稳定的平衡点；

当 R1＞1时， λ2＞0，因此，当 R1＞1时，P1为不稳定的平衡点。……