姜晓丽

[摘  要] 在2017年江苏省和山东省的最后一道数学题中，都对函数问题进行了考查，笔者仔细研究了这两道题，发现其中都用到了构造函数的知识，在此将这两道题放在一起进行分析，通过对比分析，找到其中的不同点.

[关键词] 构造;函数;单调性

构造函数类的相关问题是高考的重点、难点，若用常规方法解决这类问题，难免会走进死胡同. 构造函数的中心思想就是转化，将复杂的问题通过构造函数进行转化，起到化难为易、化繁为简的效果. 对于不同的问题，需要采用不同的方法进行函数的构造，做到具体问题具体分析，而这也是这类问题的难点所在.

真题呈现，提炼方法

1. 真题再现

（2017年江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）存在极值，且导函数f ′（x）的极值点为f（x）的零点. （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求b關于a的函数关系式，并写出定义域;

（2）证明：b2>3a.

2. 试题解析

由于本文的内容主要是构造函数，所以对于第（1）问一笔带过，在此直接给出答案，具体过程不一一叙述.对于第（2）问，为了证明不等式b2>3a，可以尝试采用构造函数的方式来分析，构造函数h（a）=b2-3a，该函数含有a，b，可以求b关于a的函数式，并分析函数定义域，然后根据定义域来讨论函数h（a）的值域.

本题中第一问是第二问的铺垫，第二问的解决需要依托第一问的答案.本题的关键在于函数的构造，通过构造函数h（a）=b2-3a，可以充分利用第一问的解题结果. 根据函数的单调性以及相应的极值条件，可以判断不等式是否成立. 通过……