任芬芳，汪晓勤，陈玲玲



美国早期数学教科书中的极限概念

任芬芳1，2，汪晓勤3，陈玲玲4

（1．华东师范大学数学系，上海 200241；2．浙江师范大学行知学院，浙江金华 321004；3．华东师范大学教师教育学院，上海 200062；4．上海市朱家角中学，上海 201713）

围绕“极限概念”这一主题，考察了1870—1939年间出版的92种美国数学教科书，发现书中的极限定义分成动态、静态、动静结合3类；大多数为描述性定义，少部分为形式化定义．对照历史上数学家给出的极限定义得出结论：70年间，数学教科书中的极限概念的演变过程是极限概念历史发展过程的一个缩影．

早期数学教科书；极限的定义；极限的历史；认识论障碍

1 引 言

17世纪，牛顿（Isaac Newton，1643—1727）、莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）创立了微积分，但牛顿发表的微积分论文由于不严密而受到质疑．直到19世纪柯西（A. L. Cauchy，1789—1857）创立极限理论，才为微积分打下坚实的基础，完善了微积分．没有极限，微积分岌岌可危．若对极限没有深刻的认识，也就不可能透彻地理解微积分的本质，因此，极限理论的学习是微积分学习的重要环节，而极限概念（尤其是它的分析定义）的教学则是微积分教学的难点之一．

著名数学家和数学史家克莱因（M. Kline，1908—1992）曾指出：“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史；有许多理由，但最重要的一条理由或许是：数学史是教学的指南．”[1]研究概念的历史、确定其发展缓慢和产生困难的时期有助于指明认识论障碍的存在[2]．对产生于18世纪的极限概念来说，19、20世纪的数学教科书能很好地体现其发生、发展的规律．为了更好地进行极限理论教学，围绕极限概念这个主题，以极限的描述性定义为主要研究对象，对美国20世纪中叶以前出版的数学教科书进行考察，试图回答以下问题：92种教科书有哪些极限定义？……