刘瑞华，董立尧，翟显中国民航大学电子信息与自动化学院，天津300300

北斗卫星导航系统空间信号用户测距误差计算方法研究

刘瑞华＊，董立尧，翟显
中国民航大学电子信息与自动化学院，天津300300

按照空间信号用户测距误差（User Range Error，URE）定义，参考GPS标准定位服务性能规范中URE的计算方法，结合北斗卫星导航系统（BDS）多星混合星座类型，在考虑仰角限制情况下，详细推导了适用于BDS的瞬时URE和均方根URE计算公式。利用广播星历和精密星历计算的卫星轨道误差和卫星钟钟差，带入所推导的公式，对BDS URE进行分析评估；并使用GNSS接收机原始观测量和伪距观测方程计算BDS URE，最后将两种计算结果进行对比分析。研究结果表明，两种方法BDS URE的计算结果基本一致，在95%置信度情况下均小于2.5m，满足北斗公开服务性能规范中对空间信号URE的基本要求。

北斗卫星导航系统；空间信号；瞬时用户测距误差；均方根用户测距误差；伪距观测方程

用户测距误差（URE）是评估卫星导航系统空间信号精度及服务性能的主要参数，一般采用其均方根形式rmsURE［1－2］。rmsURE是指对一定时间间隔的瞬时用户测距误差（IURE）的统计测量。

美国国防部发布的GPS标准定位服务性能规范（GPS SPS PS）给出了GPS rmsURE的计算方法［3］：

式中：A、C、R和T分别为广播星历与事后精密星历做差求得的卫星切向、法相、径向轨道误差和卫星钟钟差；v为光速。

北斗公开服务性能规范中，没有介绍适用于北斗的URE计算方法［4］。BDS是由地球静止轨道（GEO）卫星、倾斜地球同步轨道（IGSO）卫星和中圆轨道（MEO）卫星组成的混合星座卫星系统［5］，轨道参数与GPS存在较大差异，特别是GEO和IGSO，故BDS URE的计算不能直接套用GPS的方法［5］。本文将针对这种情况，按照空间信号URE的定义，详细推导BDS URE的计算方法。

此外，GPS SPS PS介绍的rmsURE计算方法，没有考虑仰角限制，只分析了截止高度角为0°的情况。在实际应用中，为了屏蔽遮挡物（如建筑物、树木等）及多路径效应的影响，GPS和BDS均需要根据空域环境限定相应的截止高度角［6］。本文针对限定截止高度角的情况进行分析研究，并给出截止高度角为5°、10°、15°、20°的BDS rmsURE公式系数，根据这些系数便可得到相应的URE公式。同时，本文对限定截止高度角的分析方法对GPS URE的计算也有一定的参考意义。

1 BDS URE计算方法

1.1 URE定义及数学模型

空间信号URE是导航卫星位置与钟差的实际值与利用预报导航星历得到的预测值之差在接收机到卫星视线方向上的投影，反映了预报的导航星历及卫星钟差精度，并最终影响实时导航用户定位精度［7］。

空间信号URE简单示意如图1所示。图中De为地球平均半径，Ds为卫星轨道半径（卫星轨道高度与地球平均半径的代数和）。假设在t时刻卫星所在的精密位置为SP，广播位置为SB，观测站在地球表面位置为M和R。SPM为卫星观测地球视线与地球的切线，SPSB为卫星轨道误差和卫星钟钟差矢量，SM，SR是SB分别在SPM和SPR的投影点。SPSB在SPM方向上的投影矢量为SPSM，SPSB在SPR方向上的投影矢量为SPSR。

图1 空间信号URE示意Fig.1 Schematic diagram of URE

根据URE的定义，对观测站M来说UREM＝SPSM＝SPSBcos∠MSPSB，对观测站R来说URER＝SPSR＝SPSBcos∠RSPSB。因为∠MSPSB＜∠RSPSB，所以SPSM＞SPSR。由此可知URE的取值和卫星半张角有关，半张角越大，URE越小［8］。受此影响，在卫星覆盖地球范围内，URE值大小不一致。所以在讨论卫星导航系统精度性能时，全球平均URE（即卫星覆盖地球表面的rmsURE）就显得很有意义。

1.2 天顶距分析

天顶距是指在天体方位圆上，天体与天顶之间的角距离。在实际应用中即为接收机与卫星通过地球球心的夹角。在rmsURE计算过程中，需要使用天顶距的取值范围，所以先对天顶距的取值情况进行详细分析。

截止高度角的有无对天顶距的取值有直接影响，需分情况讨论。截止高度角为0°和截止高度角为E时，用户－卫星最大视距模型如图2所示。

图2 用户－卫星最大视距模型Fig.2 Model of maximum distance

图2 中，α为卫星半张角，θ为天顶距，E为截止高度角，L为辅助线（为计算方便，将卫星到用户视距延长，并做到原点的垂线L）。从图中可以计算得到：

1）当截止高度角为0°时，

2）当限定截止高度角为E时，

通过分析可知，当截止高度角为0°时，天顶距只受半张角影响。当截止高度角为E时，天顶距同时受半张角和截止高度角的影响。这两种情况分别求出了θ的最大值，又知θ的最小值为0，所以θ的取值范围为［0，θmax］。

1.3 IURE计算方法

为描述方便，建立图3所示坐标系。假设地球为理想球体，选取地球质心o为原点，连接地心与卫星质心S并指向卫星为正建立z轴（径向），以卫星的飞行方向（切向）为x轴，并按右手定则确立y轴（法向）。

图3 URE计算示意Fig.3 URE calculation diagram

图3 中，Φ为卫星覆盖面内的方位角，ds＝（dadc－dr）T为任意时刻由卫星星历计算的卫星位置与其真实位置在切向、法向和径向产生的误差。

已知RTN坐标系定义［9］：原点为卫星质心S，R轴为由地球地心指向卫星质心的方向（径向），T轴为轨道面内与R轴垂直且指向卫星运动的方向（切向），N轴为轨道正法向（法向）。图3建立的o－xyz坐标系即RTN坐标系由卫星质心到地球质心的平移。

任取卫星S覆盖地球表面一点P，其在xoy面的投影为P′，lSP为由卫星S指向用户P的向量。则卫星至用户lSP方向的单位向量为：

式中：∂（θ，Φ）、β（θ，Φ）、γ（θ，Φ）为卫星至用户视线的方向余弦，

用户至卫星lPS方向的单位向量与卫星至用户lSP方向的单位向量相反，故用户至卫星lPS方向的单位向量为－l，地面观测点P的预报星历轨道误差大小为l·ds。钟误差的影响是全方位的，且各方向大小相同，均为v·dt。IURE即预报星历轨道误差和钟差在用户－卫星视线上的投影，因此：

式中：A＝da，C＝dc，R＝dr，T＝dt；ζA，ζC，ζR，ζT分别为A、C、R、T的系数：

计算上述系数所需的参数为θ、Φ、De和Ds。地球平均半径De＝6 371.393km，卫星轨道半径Ds＝De＋h。其中，h是卫星轨道高度（BDS GEO／IGSO轨道高度为35 786km，

当θ、Φ确定后，式（5）各系数项确定，即可得到该点的IURE计算公式。由于IURE的计算公式因测试点地理位置不同而不同，读者可根据实际接收机位置，按照上述推导，自行求解。

1.4 rmsURE计算方法

假设卫星覆盖地球表面上位置点服从均匀分布，对于覆盖面内任一点P（θ，Φ），划定［θ，θ＋dθ］、［Φ，Φ＋dΦ］的区域为面微分元。面微分元两边边长分别为De·dθ和De· sinθ，则该地球表面区域面积为：

dΔ＝Dedθ·Desinθdφ＝D2esinθdθdφ

卫星覆盖地球的范围可以用θ、Φ表示，其中Φ的范围为［0，2π］，θ的取值与截止高度角和方位角有关，在第1.2节已详细推导。所以，卫星的覆盖面积为：MEO轨道高度为21 528km）。不同类型卫星的轨道高度会造成IURE系数大小差异，需分情况讨论。

在实际测试求IURE时，点P即为接收机位置，当接收机位置在经度为Alo，纬度为Ala，高程为0时，点P的天顶距和方位角分别为：

由均匀分布概率分布函数定义可知，该点在卫星覆盖地球表面上的联合概率分布为：

假设卫星切向、法向和径向误差互不相关，且卫星钟差只与径向相关，相关系数记为ρrt（本文采用与文献［3］相同的相关系数，取ρrt＝－1）。按概率分布为P（θ，Φ）的权对卫星覆盖面上所有点的IURE进行加权平均，即可得rmsURE：

式中：A2＝（da）2，C2＝（dc）2，R2＝（dr）2，T2＝（dt）2，R·T＝dr·dt。ξA2，ξC2，ξR2，ξT2，ξR·T分别为A2、C2、R2、T2、R·T的系数，各系数计算公式如下：

计算上述系数所需要的参数为De，Ds，E。BDS GEO／IGSO与MEO不同的轨道高度会造成rmsURE公式系数大小差异，需分情况讨论。

当截止高度角为0°，将各已知参数带入各系数求解公式便可得到：

式（6）、式（7）与GPS SPS PS中给出的截止高度角为0°的GPS rmsURE式（1）各参数意义相同。由于GPS与BDS卫星轨道高度不同（即卫星轨道半径Ds不同），导致计算rmsURE各系数时用到的方向余弦∂（θ，Φ）、β（θ，Φ）、γ（θ，Φ）及θmax不同，故GPS与BDS公式中各系数大小存在微小差异。

当截止高度角为E时，由第1.2节可知，随着E的变化，θmax的取值会有改变，各系数值也稍有变化。为方便实际测试中对选取不同截止高度角情况下rmsURE的计算，表1列出了E为5°，10°，15°及20°的rmsURE公式系数值。在实际使用中，只需将表中对应的系数值带入公式对应位置即可。限于篇幅，作者对于截止高度角E为其他角度值下的系数值不再列出，如有需求，读者可根据上述推导自行计算。

表1 截止高度角E为5°，10°，15°，20°的rmsURE公式系数值Table 1 rmsURE formula coefficient when the elevation mask Eis 5°，10°，15°and 20°

2 BDS URE实例分析

2.1 URE计算过程

由式（1）、式（5）～（7）可知，关于URE的计算，实际上是卫星切向（A）、法相（C）、径向（R）轨道误差和卫星钟钟差（T）的计算问题。计算A、C、R、T需要使用广播星历和精密星历。BDS广播星历提供卫星轨道根数，1h更新一次，可以依据文献［5］中卫星位置求解算法得到任意时刻的预报卫星坐标和卫星钟钟差。事后精密星历提供的是以15min为间隔的精密卫星坐标和卫星钟钟差，可采用拉格朗日（Lagrange）多项式内插法得到任意时刻的精密卫星坐标和卫星钟钟差［10］。将预报卫星坐标和精密卫星坐标各自转换到RTN坐标系后再做差便得到A、C、R、T［11］，带入公式即可得到URE。计算的流程如图4所示。

图4 星历数据计算URE流程Fig.4 Calculation flow for URE with ephemeris

2.2 数据来源

采用2016－06－26的北斗卫星导航系统广播星历brdm1780.16p（下载地址：ftp：∥cddis.gsfc.nasa.gov／pub／gps／data／campaign／mgex／daily／rinex3／）和精密星历wum19030.sp3（下载地址：ftp：∥cddis.gsfc.nasa.gov／gnss／products／mgex）来计算空间信号URE。

2.3 结果分析

针对BDS GEO、IGSO和MEO三种卫星，以时间采样间隔为60s，使用上述广播星历和精密星历数据，按照式（6）、式（7）对当天2：00－22：00的URE进行计算分析，计算结果如图5、图6所示，精密星历中不存在或广播星历数据不可用的卫星，本文URE用0表示。

通过分析图5、图6，可以发现：

1）北斗广播星历每小时更新一次轨道参数，为保证数据龄期尽可能小，本文选择在每个半点时刻进行星历文件切换。由于每组轨道参数均有更新变动，所以在半点时刻存在跳变现象［12］。

2）利用星历数据计算的BDS卫星空间信号URE的平均精度为1.66m。GEO、IGSO和MEO三种卫星在一天内的URE（95%置信度）均在2.5m以内。

图5 星历数据计算BDS UREFig.5 Calculate BDS URE with ephemeris

图6 星历数据计算BDS URE（95%置信度）Fig.6 Calculate BDS URE（95%confidence）with ephemeris

3 BDS URE对比分析

3.1 伪距观测方程计算URE原理

文献［13］借助WAAS监测网使用“伪距观测值法”（从伪距观测值中扣除电离层、对流层等误差的影响）评估了GPS空间信号URE的精度，并通过试验对比说明了“伪距观测值法”与“星历数据法”的结果基本一致，大小相差在±4m的范围内。故这里采用伪距观测方程与接收机原始观测量计算BDS URE，并与上文BDS URE公式的计算结果进行对比分析。已知伪距观测方程［14］：

式中：r为卫星与接收机的几何距离；δtu为接收机钟差；δts为卫星钟差；δρs为轨道误差；Eion为电离层误差；Etrop为对流层误差；ερ为多路径和接收机噪声。

接收机的伪距原始观测量，减去接收机－卫星几何距离、接收机钟钟差、卫星钟钟差、电离层误差、对流层误差、多路径和接收机噪声，剩下的便是轨道误差和卫星钟钟差残差。因此，式（8）可改写为：

式（9）等号左侧可认为是带有多路径和接收机噪声误差的URE。该URE计算方法对接收机精度、接收机采集数据的地理环境及天气条件都有严格的要求。本文使用高精度接收机且数据采集场地选在滨海国际机场附近空旷楼顶，使人、设备和环境的误差降到最低。

3.2 数据来源

采用NovAtel ProPak6高精度基准型GNSS接收机，在天津滨海国际机场附近进行北斗数据采集。采样日期2016－06－26，采样间隔60s。接收机可提供伪距值、卫星位置坐标、接收机位置坐标、接收机钟钟差、卫星钟钟差、电离层误差和对流层误差。多路径和接收机噪声误差按照经典模型进行适当修正，以保证试验的精确度［15］。

3.3 结果分析

利用采集的数据，按照式（9）对当天2：00～22：00（周内秒为7 200～79 200）的URE进行计算分析，计算结果如图7、图8所示，卫星不在接收机视野范围内的时刻，本文URE用0表示。

通过分析图7、图8，可以发现：

1）由于受实际环境中未消除的噪声干扰，采用接收机实测数据计算的URE曲线存在频繁的毛刺波动现象，但对URE整体变化趋势没有影响。

2）在一天内接收机采集到的数据中，GEO卫星的观测历元最多，IGSO和MEO卫星会缺失部分时段，尤其是MEO卫星，在天津滨海国际机场附近监测点只能观测到大约1／4的弧段，这使利用“伪距观测值法”计算分析URE的样本锐减。

3）通过接收机数据和伪距观察值计算的BDS卫星空间信号URE的平均精度为0.96m。北斗GEO、IGSO和MEO三种卫星在一天内的URE（95%置信度）均在2m以内。

4）对比图6与图8可知，“星历数据法”和“伪距观测值法”计算得到的URE大小基本一致，结果相差在±2m的范围内。

图7 接收机原始观测量计算BDS UREFig.7 Calculate BDS URE with receiver raw observations

图8 接收机原始观测量计算BDS URE（95%置信度）Fig.8 Calculate BDS URE（95%confidence）with receiver raw observations

4 结束语

本文对BDS URE计算方法进行了深入研究，详细推导了更适用于实际应用的BDS IURE及rmsURE计算公式，使空间信号精度性能评估的关键指标——URE的计算简单化、模块化，并解决了不同截止高度角情况下URE的计算问题。另外，利用卫星星历数据、接收机伪距观测值分别对BDS URE进行计算分析，得到的结果均在2.5m以内，能够满足北斗公开服务性能规范的要求。

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（编辑：高珍）

Research on calculation method of signal in space user range error for BeiDou Navigation Satellite System

LIU Ruihua＊，DONG Liyao，ZHAI Xian
School of Electronic Information and Automation，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China

According to the definition of signal in space user range error（URE）and the root mean square URE（rmsURE）calculation method given in the Global Positioning System Standard Positioning Service Performance Standard（GPS－SPS－PS），the BeiDou Navigation Satellite System（BDS）instantaneous URE（IURE）and rmsURE formulas were deduced considering the elevation constrains.In addition，BDS URE was calculated by the ephemeris data，and the BDS receiver raw observations.The results show that the two methods match well，and both are less than 2.5meters in the case of 95%confidence which meets the basic requirements of the signal in space URE given in the BDS open service performance standard（BDS－OS－PS）.

BeiDou Navigation Satellite System；signal in space；instantaneous user range error；root mean square user range error；pseudo－range observation equation

V448.2

A

10.16708／j.cnki.1000－758X.2017.0055

2016－12－15；

2017－02－20；录用日期：2017－06－29；网络出版时间：2017－08－11 10：44：56

http：∥kns.cnki.net／kcms／detail／11.1859.V.20170811.1044.006.html

民航安全能力建设项目“北斗机载设备技术标准规定与应用研究”（AADSA0007）；国家重点研发计划“广域航空安全监控技术及应用”项目“星基定位监视与机载设备适航技术”课题（2016YFB0502402）

＊通讯作者：刘瑞华（1965－），男，教授，rhliu＿cauc＠16.com，研究方向为卫星导航、惯性导航和组合导航

刘瑞华，董立尧，翟显.北斗卫星导航系统空间信号用户测距误差计算方法研究［J］.中国空间科学技术，2017，

37（4）：41－48.LIU R H，DONG L Y，ZHAI X.Research on calculation method of signal in space user range error for BeiDou Navigatin Satellite System［J］.Chinese Space Science and Technology，2017，37（4）：41－48（in Chinese）.