杨彬，李爽，＊1.南京航空航天大学航天学院，南京2100162.南京航空航天大学航天新技术实验室，南京210016

火星探测转移轨道初始设计与分析

杨彬1，2，李爽1，2，＊
1.南京航空航天大学航天学院，南京210016
2.南京航空航天大学航天新技术实验室，南京210016

根据推进方式和是否采用金星借力，火星转移轨道分为大推力直接转移轨道、大推力金星借力转移轨道、小推力直接转移轨道和小推力金星借力转移轨道4类。传统的轨道设计方法只是针对某一类特定的转移方案进行轨道优化，而并未针对不同的转移方案进行详细对比分析。文章以2020／2022年发射窗口为例，针对4类基本火星转移轨道进行研究。首先，基于不同轨道初始设计方法，对4类轨道进行了初始设计，得到了每类转移方案的能量最优转移轨道。然后，基于设计结果和能耗对4类转移方案进行了横向对比分析，得到了不同策略下的转移轨道的特性。基于小推力的火星探测任务轨道对发射能量要求低；大推力直接转移和借力金星的发射窗口交替分布，可以互为备份；基于小推力推进的探测器采用金星借力转移策略相比直接转移能够减少10%的能耗，优势十分明显。

火星探测；转移轨道；初始设计；小推力推进；脉冲推进；借力飞行

进入21世纪，世界各国掀起了一股火星探测的热潮，各航天大国纷纷制订了火星探测计划［1］。2016年中国火星探测工程正式立项，并于2016年8月23日公布了中国火星探测器和火星车外观设计构型。2020年中国首次火星探测将一次实现“环绕、着陆、巡视”3个目标，这是其他国家第一次实施火星探测任务时从未尝试过的，面临的挑战也是前所未有。地火转移轨道设计与分析是火星探测任务的最顶层设计，对后续各个分系统的设计起着决定性的作用，是整个工程大总体必须首先解决和明确的课题。

大推力直接转移是传统的火星探测转移轨道方案，在已经实施的44次火星探测任务中被广泛采用［1］。长期的工程应用推动了大推力转移轨道初始设计方法的发展，基于圆锥曲线拼接原理形成了一系列成熟完备的初始设计方法［2－5］。19世纪末，Tisserand等在解释彗星轨道的改变时首次引入了借力飞行的概念。随着对借力飞行原理的深入研究，行星借力转移策略开始应用于深空探测任务中。“Mariner 10”、“Cassini”等探测器均采用了借力飞行轨道方案［6－7］，使借力飞行技术愈发成熟，相应的轨道设计方法也得到了长足发展［811］。近年来，随着小推力推进技术迅速发展和实际应用，凭借高比冲、轻质量、低燃耗的特点，小推力推进逐渐成为了未来深空探测任务的首选推进方式。相关的轨道设计也成了众多学者的研究对象。文献［12］提出采用指数正弦曲线来逼近航天器飞行轨迹的小推力轨道初始设计方法。文献［13－18］先后提出了逆多项式法、改进的标称轨道法、傅里叶级数展开法等多种小推力转移轨迹设计方法。随着借力飞行与小推力推进的引入，火星探测转移轨道方案变得丰富多样。

以往的轨道设计仅仅针对某种特定转移方式，而没有对四种类型的轨道进行横向对比分析。本文以中国火星探测工程为背景，选取2020／2022年火星发射窗口为例，针对不同推进方式（脉冲推进／电推进）、是否金星借力分别设计了火星转移轨迹。并就不同类型转移方案的轨道特征参数进行了系统、全面的横向对比分析，总结了不同转移轨道方案的优缺点。最后，结合不同任务的特点和要求，给出了适宜的转移轨迹方案。本文所做研究对于后续火星探测任务的顶层设计与规划具有参考意义。

1 问题描述

1.1 大推力转移轨道设计问题描述

根据圆锥曲线拼接原理，火星探测转移轨道分为3部分：地球逃逸轨道、星际转移轨道、火星捕获轨道。每一段均可看作理想二体模型下的开普勒轨道。整个转移过程探测器绝大部分时间处于星际转移轨道段，因此求解出星际转移段轨道，便等效于基本确定了火星探测转移轨道。星际转移段主要受到太阳的引力作用。因为行星影响球尺寸与转移轨道半长轴相比可以忽略不计，所以，将行星的影响球看作质点，即转移轨道段的始末端位置为对应行星的位置。通过求解Lambert问题能够得到探测器的始末端速度，如图1所示。

式中：V0，Vf分别为探测器在转移轨道始末端的速度矢量；RE为探测器出发时刻地球的位置矢量；RM为探测器到达火星时刻火星的位置矢量；Δt为飞行时间。

图1 大推力地－火转移轨道设计Fig.1 Design of Earth－Mars impulse transfer trajectory

地球和火星的位置受到星历约束。如果给定出发时刻tD和到达时刻tA，则通过查阅星历可以得到地球和火星的位置、速度信息，并且Δt＝tA－tD，所以，地火转移轨道可以看作是出发时间和到达时间的映射。

式中：R0，V0为出发时刻探测器的位置、速度矢量；Rf，Vf对应为末端到达时刻探测器的位置与速度矢量。

理论上，给定一组出发和到达时间（tD，tA），就能得到相应的地火直接转移轨迹。但是，火星探测是一个复杂的系统工程，受到诸多约束，例如火箭运载能力、测控条件、发射场条件等。因此，需要综合考虑各种约束来挑选满足要求的时间组（tD，tA），以获取可行的地火转移轨道。即地火大推力直接转移设计问题被转化为对时间组的性能指标寻优问题。速度增量是衡量转移轨道的重要指标，但是直接以速度增量为性能指标优化难度大，为了便于优化，通常选用特征能量，即速度增量的平方作为寻优指标。这与运载火箭的特征能量定义相一致，方便工程实践参考。性能指标数学描述为：

考虑技术储备、任务周期、卫星捕获制动能力等约束条件：

式中：V∞A为探测器到达火星后的剩余速度，由探测器末端速度矢量与火星速度矢量作差得到，即V∞A＝Vf－VM。

1.2 小推力转移轨道设计问题描述

考虑到火星与地球的公转轨道面夹角很小，在轨道初始设计时不妨假设两者共面。为了便于计算，本文选取极坐标描述小推力转移轨道，如图2所示。

图2 小推力地－火转移轨道设计Fig.2 Design of Earth－Mars low－thrust transfer trajectory

小推力飞行器在行星际飞行转移过程中，主要受到太阳的引力，发动机推力及其他摄动力的作用。在本文中，忽略探测器受到的其他摄动力作用，主要考虑太阳引力影响和发动机推力作用。则在极坐标下，探测器的运动方程为：

式中：r，θ分别为航天器的矢径和极角；μ为中心引力体的引力常数；F为小推力发动机推力幅值；m为航天器和推进剂质量和；g为地球海平面重力加速度；Isp为航天器发动机的比冲；α为发动机推力方向角。为了简化问题，假设航天器所受到的推力的方向和速度方向一致或相反，即α＝γ＋nπ（n＝0，1），γ为航迹角。推力幅值F可以由推进系统模型决定。推进系统模型选择太阳能电推进模型：

式中：η为小推力发动机的效率；P0为在一个天文单位（AU）下太阳能的输入功率；r为航天器与日心的距离。

根据Petropoulos提出的指数正弦曲线法，在极坐标中航天器的轨迹表示为

r＝k0exp［k1sin（k2θ＋φ）］（7）式中：r为航天器矢径大小；θ为极角；φ为初始相位角；k0，k1，k2为指数正弦曲线系数。

如果能确定k0，k1，k2和φ这4个参数的值，那么就能唯一确定一条指数正弦曲线，即探测器的转移轨迹。根据飞行时间约束，建立飞行时间和初始飞行角的方程：

式中：TOF为实际飞行时间；μ为太阳引力常数；k12s＝k1k22sin（k2θ＋φ）；s＝sin（k2θ＋φ）。

求解式（8），得到参数k2和初始飞行角γ0，从而获取探测器的转移轨迹。

综上所述，小推力转移轨迹设计问题可以总结为：在天体的星历、发动机的最大推力和位置及速度约束等约束下，搜索适宜的出发和到达时间，设计合理的推进方案，以保证转移轨迹的燃耗最少。性能指标函数数学描述如下：

1.3 借力飞行方案问题描述

借力飞行技术起源于19世纪，又称引力辅助轨道转移技术。基本原理（见图3）是航天器沿双曲线轨道飞越中心天体时，其相对中心天体的速度矢量方向发生了改变。根据矢量叠加原理，航天器在惯性系中的绝对速度矢量发生变化。飞越借力行星时，受到借力天体的引力作用探测器的相对速度矢量由Vii转向Voo，则根据矢量叠加原理，探测器相对太阳的绝对速度可以记为：

图3 借力飞行原理Fig.3 Principle of gravity－assisted transfer

式中：VP为借力行星在日心坐标系下的速度矢量；Vi和Vo为探测器进入和飞出借力天体影响球时在日心坐标系下的速度矢量；Vii和Voo为探测器进入和飞出借力天体影响球时相对借力行星的速度矢量。

针对火星探测任务，借力天体选定为金星，金星飞越过程如图4所示。为了增大发射机会，本文在探测器飞越金星时施加一个微小的速度增量ΔV。

图4 施加脉冲调整的金星借力过程Fig.4 Schematic diagram of Venus flyby with deep space maneuver

双曲线飞越航天器的速度矢量偏转角为β＋－β－，则：

由双曲线轨道方程可知：

式中：μν为金星引力常数；Vm为探测器在半径为rm的圆轨道绕金星运行时的速度，即：

联立式（11）～（13），求解出Vm和rm。根据轨道动力学知识，机动前后的速度大小为：

将式（14）两式作差，求出近金星点所需施加的速度增量ΔV：

2 火星轨道初始设计方法

2.1 大推力直接转移轨道设计

由第1.1节可知，地火大推力直接转移轨道设计问题本质上是性能指标对时间组（tD，tA）的寻优问题。对于给定的出发时间tD和到达时间tA，大推力直接转移轨道的确定过程如图5所示。

结合中国的火星探测计划，本文设定火星发射窗口搜索区间为2020／2022年，综合考虑中国的火箭运载能力、发射场条件等因素，采用遗传算法完成了性能指标对发射窗口的搜索，最终得到了发射能量最优的大推力地火直接转移轨道，如图6所示。

图5 大推力直接转移轨道初始设计流程Fig.5 Flow chart for Earth－Mars impulse transfer trajectory design

图6 地球－火星大推力直接转移轨道Fig.6 Energy optimal Earth－Mars direct transfer trajectory with impulse

探测器在2020年7月19日离开地球，2021年1月28日到达火星。整个转移过程持续193d，发射能量为14.288 4km2／s2，火星制动捕获速度增量为3.146 0km／s。所有仿真均使用MATLAB2014b版本，在台式电脑Pentium®Dual－Core CPU E5200＠2.50GHz处理器上进行。

2.2 小推力直接转移轨道设计

基于第1.2节的描述，小推力转移轨道初始设计过程与大推力类似。根据星历可以得到地球、火星的实时位置和速度，将其在黄道面投影得到极坐标下转移轨道的始末端矢径r0，rf和转移角ψ。考虑到飞行时间的限制，将N设置为0。所以，小推力火星直接转移轨道由出发时间、到达时间和参数k2唯一确定。借助遗传算法进行参数寻优，便能确定燃耗最少的转移轨道。具体流程如图7所示。

为了方便对比，仍然针对2020／2022年的火星发射窗口进行轨道设计。考虑到小推力的特点，设定飞行时间100d≤TOF≤1000d，发射能量C3d≤1km2／s2，最大推力加速度不超过0.3m／s2。根据现有技术水平，太阳能电推进发动机输入功率P0＝6.5kW；工作比冲Isp＝3 000 0m／s；工作效率η＝0.65；飞行器初始质量m0＝1 300kg。最终通过遗传算法优化搜索得到了燃料最优的转移轨迹，如图8所示。

图7 小推力直接转移轨道初始设计流程Fig.7 Flow chart for Earth－Mars low－thrust transfer trajectory design

探测器2020年2月9日从地球出发，沿着螺旋线轨道于2021年6月5日抵达火星。尽管发动机全程持续为探测器提供推力，整个转移过程还是耗费了483d。不过，探测器抵达火星时是由火星引力实现自动捕获，不需要耗费额外燃料进行火星制动。

图8 地球－火星小推力直接转移轨道Fig.8 Earth－Mars direct transfer trajectory with low－thrust

2.3 借力转移轨道初始设计

根据轨道拼接原理，基于金星借力的地火转移轨道分为3段：地球—金星段、金星飞越段、金星—火星段。其中地球—金星段和金星—火星段看作独立的两段直接转移轨道初始设计问题。所以，相比于直接转移轨道设计，借力转移轨道初始设计的不同之处在于两段轨道的匹配拼接。为了增大匹配机会，本文在金星飞越段设计了微小的速度增量ΔV。借力转移轨道详细设计步骤如下：

1）根据设定的搜索区间，基于第2.1节（小推力推进时为第2.2节）阐述的设计方法，计算地球至金星的直接转移轨迹，得到一系列地球金星转移轨道。

2）根据设定的约束条件对步骤1）的结果进行初选，得到满足约束条件的潜在转移轨迹。

3）以步骤2）得到的轨道到达金星的时刻为金星至火星转移轨道的出发时间，计算金火直接转移轨迹，方法同步骤1）。

4）基于第1.3节的金星借力模型计算金星飞越轨道的近金星点高度和需要施加的速度增量。并根据借力匹配约束条件，筛选满足匹配要求的借力转移轨道。

5）利用搜索算法对步骤4）得到的轨道进行精确搜索，得到最终的燃耗最优的借力转移轨迹。

鉴于金星飞越段探测器发动机不工作，所以脉冲推进与小推力推进方式的金星借力匹配模型相同。区别在于两段直接转移轨道设计阶段模型不同。为了与其他转移方案形成对比，推力模型和发动机参数设置与直接转移方案相同，搜索区间同样设为2020／2022年。综合考虑探测器的轨道机动能力，为了保证探测器成功借力，避免被金星大气捕获甚至与金星表面相撞等情况，对金星飞越高度和深空机动设定了约束：飞跃高度hm≥100km，匹配速度增量ΔV≤5m／s。除此之外，其他条件大推力直接转移轨道设计相同，同样采用遗传算法搜索燃料最优转移轨迹，结果如图9所示。

图9 基于金星借力的地火转移轨道Fig.9 Earth－Mars direct transfer trajectory with Venus′gravity－assist

如图9（a）为大推力地火转移轨迹，探测器在2021年10月26日从地球出发，经过长达5个月的飞行于2022年3月26号抵达金星，经过金星加速后飞向火星，于2022年9月14日到达火星。整个飞行过程持续323d。需要的发射能量为12.074 9km2／s2。

图9（b）给出了地火小推力借力转移轨迹设计结果。探测器于2021年6月22日离开地球，飞向金星，2022年3月13日到达金星并完成金星飞越，随后探测器飞往火星，最终于2022年7月4日抵达火星。整个转移过程耗费377d。

3 结果对比与分析

3.1 能量最优轨迹对比分析

第2节经过初始设计建模仿真，最终得到了4种不同转移策略下2020／2022年期间的能量最优转移轨道。轨道的详细信息如表1所示。

表1中IDT表示大推力直接转移方式。同理，IVGT表示大推力金星借力转移方式，LDT表示小推力直接转移，LVGT表示小推力金星借力转移。

对比4种转移方案最优轨道的飞行时间，大推力直接转移方式只需193d就能飞抵火星，而小推力直接转移则要花费487d，是大推力直接转移的2.5倍。小推力借助金星借力使得飞行时间缩短了近100d。大推力则恰恰相反，借助金星借力反而使整个飞行时间延长了1／3。

表1 4种转移方案能量最优轨道信息Table 1 Energy optimal orbit information of four transfer schemes

从能量角度来看，不同推进方式的总速度增量差异并不十分明显，小推力直接转移方案的值甚至稍大。但这并不是说小推力燃耗比大推力高。由于小推力推进系统比冲是大推力发动机的5～10倍，所以，在速度增量相同的情况下，小推力的燃料消耗要小的多。此外，在本文的仿真算例中金星借力转移并不总是能节省燃料。对于不同推进系统，其效果也大不相同。以各类方案的能量最优情况为例，脉冲推进系统，借力金星反而会少量增加速度增量。这是由于本文为了增加金星借力匹配机会在金星借力过程中添加了深空机动，并对借力模型进行了简化，这会造成一些误差。此外，由于本文只考虑2020－2022年区间的情况，基于金星借力的火星转移窗口有限，如果扩大搜索区间，不排除会搜索到比直接转移速度增量小的情况。小推力系统的速度增量经过金星借力后有明显下降，减少了10%。这说明针对2020／2022期间的火星探测任务，小推力与金星借力转移共同使用效果更好。

3.2 能耗对比分析

速度增量是轨道设计时首要考虑的问题，是评价设计轨迹优劣的重要指标。传统的轨道设计是在某一类转移方案下的纵向比较。本节针对四种不同类型的转移方案的速度增量进行了横向对比分析。

不同推进系统的工作方式不同，能耗度量方式也存在差异。大推力转移通常以速度增量度量任务能耗。小推力推进系统则是以燃料消耗率（即消耗燃料占初始质量的比重）来估算轨道能耗。为了实现横向对比，本文将小推力的燃料消耗率转化为等效的速度增量。此外，出发方式和火星制动策略也影响着整个任务的速度增量。本文假设探测器由运载火箭直接送入地球逃逸轨道，抵达火星后采用主动制动捕获策略。地球逃逸所需速度增量由运载火箭及其上面级提供，制动捕获速度增量由探测器的轨道发动机提供。

基于上述假设，本文分别对4种转移方案进行了数值仿真，得到了总速度增量随发射日期变化的曲线，如图10所示。

图10 不同发射方案速度增量随出发日期变化关系Fig.10 Total velocity increment of four orbits variation with respect to the depart date

首先，观察4条曲线的最低点，其对应每种转移方案的能耗最优转移轨道。4个最低点的发射日期与第2节的设计结果吻合，证明了第2节设计结果的准确性。而且4条曲线的最低点基本处于同一水平，说明4种方案对应的最优轨道总速度增量差别不大，与第2节的设计结果吻合。

其次，观察速度增量的变化趋势，采用小推力推进系统的速度增量是连续变化的，而且变化幅度大。相较而言，由于本文只考虑双脉冲火星转移轨道设计，无法进行相位调整。所以只有当地球和火星处于合适相位时，探测器才能在有限的速度增量条件下成功抵达火星。即基于双脉冲大推力转移的探测器只在一小段时间内存在前往火星的发射窗口。小推力由于比冲高，在转移过程中发动机持续工作，其相位是动态的，不存在相位限制，而且探测器采用小推力推进能够获得更多的速度增量。所以，理论上其火星发射窗口更宽，燃料充足时，能够实现全时段火星探测。对比两类推进方式的速度增量变化范围，同小推力相比，大推力的速度增量变化幅度小，两者速度增量下限几乎相同，但是小推力能够到达的速度增量上限高达20km／s，接近大推力推进系统上限的4倍。这说明了小推力发动机的效率之高。

此外，借力金星的轨道方案对不同的推进方式，产生的效果也大不相同。比较图10中大推力直接转移速度增量曲线（红色）和借力金星的大推力转移速度增量曲线（绿色），发现二者无论是最低点还是变化范围都十分接近，这说明了在2020／2022期间的火星探测任务借力金星并没有达到节省燃料的目的，反而由于绕道金星，浪费了大量飞行时间。图10中紫色曲线（基于小推力的金星借力转移速度增量曲线）大部分情况处于蓝色曲线（小推力直接转移速度增量曲线）下方，其最大值也远远小于直接转移方案。这一现象表明金星借力方案对于小推力推进轨道的加速效果十分明显，为探测器节省了大量燃料。

3.3 结合任务的综合分析

轨道设计是一个系统性工程，在实际任务中除了考虑第3.2节中提到的能耗外，还需要综合考虑任务性质、任务周期、技术条件等因素。结合前两节对4类转移轨道方案的分析，本文从发射窗口、燃料消耗、飞行时间、总结了不同类型转移方案的轨道特性，并根据轨道特性匹配了适宜的火星探测任务。详细情况如表2所示。

表2 四种转移方案轨道特性及任务分配Table 2 Orbital characteristics and mission assignment of four transfer schemes

4 结束语

本文针对2020年至2022年期间火星探测任务大推力直接转移、大推力金星借力转移、小推力直接转移和小推力金星借力转移四种转移轨道方案进行了轨道设计仿真和横向对比分析。结果显示金星借力转移方案对于小推力转移的加速效果明显，缩短了20%的飞行时间，减少了10%的燃料消耗。对于大推力转移轨道，飞越金星并未改善轨道特性。但是，大推力转移轨道呈现周期性，直接转移方式和金星借力转移方式的发射窗口间隔分布，可以增加火星探测机会，或者互为备份。本文所使用的轨道设计方法是基于简化动力学模型，没有考虑深空机动等情况，基于精确动力学模型的火星探测轨道设计留待我们后续的跟进研究。

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（编辑：车晓玲）

Transfer orbit initial design and analysis for Mars exploration mission

YANG Bin1，2，LI Shuang1，2，＊
1.College of Astronautics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China 2.Laboratory of Space New Technology，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China

According to the propulsion mode and whether to use Venus gravity－assist，Mars transfer orbit is divided into four types：the impulse direct transfer orbit，the impulse Venus′gravity－assist transfer orbit，the low－thrust direct transfer orbit，and the low－thrustVenus′gravity－assist transfer orbit.In order to comprehensively analyze the orbit characteristics of the four Mars transfer strategies，the energy optimal transfer orbits for every transfer orbit strategy respectively were designed.In addition，the orbital characteristics of different Mars transfer strategies were obtained by numerical simulation and computation.The beneficial conclusions were drawn based on the comparative analysis of the simulation results.The low－thrust Mars transfer trajectory design is not restricted by launch windows.The launch windows open alternately for impulse direct transfer and impulse Venus′gravity－assist transfer.The energy consumption of low－thrust probe，which adopts Venus′gravity－assist transfer strategy，is reduced by 10%compared with direct transfer.The effect of Venus gravity assist transfer in energy consumption is very obvious.

Mars exploration；transfer trajectory；preliminary design；low－thrust；impulse propulsion；gravity－assist

V41

A

10.16708／j.cnki.1000－758X.2017.0047

2016－12－08；

2017－03－31；录用日期：2017－06－29；网络出版时间：2017－08－11 10：24：06

http：∥kns.cnki.net／kcms／detail／11.1859.V.20170811.1024.002.html

国家自然科学基金面上项目（61273051，11672126）；上海航天科技创新基金项目（SAST2015036）；南京航空航天大学研究生创新基地（实验室）开放基金（kfjj20171508），中央高校基本科研业务费专项资金

杨彬（1993－），男，硕士研究生，yb＿2017＠163.com，研究方向为深空探测轨道设计与优化

＊通讯作者：李爽（1978－），男，教授，博士生导师，lishuang＠nuaa.edu.cn，研究方向为航天器动力学与控制

杨彬，李爽.火星探测转移轨道初始设计与分析［J］.中国空间科学技术，2017，37（4）：18－27.YANG B，LI S.

Transfer orbit initial design and analysis for Mars exploration mission［J］.Chinese Space Science and Technology，2017，37（4）：18－27（in Chinese）.