李忠民

摘 要：数感是课程标准界定的十大核心概念之一，对于三四年级的学生而言，数感培养正当其时。北师大版三四年级数学教材中有大量数感培养的机会。数学教师要准确把握学生的数感现状，建立恰当的数感理解，以利用合适的数感教学策略去培养学生的数感。数感培养还是洞察小学数学教学智慧的窗口，教学中宜深研之。

关键词：小学数学；数感；数感培养

有人将数学通俗地理解为“关于数的学问”，虽然这样的界定不完全科学，但从小学数学教学的角度来看，却还是有其意义的。小学生学习数学，正是从数（第三声）数（第四声）开始的，小学生所建立起的数学学科理解，就是数及数的运算。在笔者看来，正是基于这一实际，《义务教育数学课程标准》（2011版）在确定十个核心概念的时候，才将“数感”放在首位。应当说学生是带着数感走入数学课堂的，尤其是小学生，其生活经验虽然不丰富，但对于数的认识却是丰富的——中国家庭有传统的“识数”的学前教育。而数学教师实施教学的一个重要目的，就是培养、提升学生的数感。本文试以北师大版小学三四年级相关内容的教学为例（北师大版教材），谈谈如何在数学教学中培养学生的数感。

一、三四年级学生的数感现状

笔者曾经在三年级下学期的某一课堂上，给学生穿插了那个经典的国王奖励大米给大臣的数学小故事，这个故事的魅力在于学生所预测的结果与实际所要给的大米数量之间的差异。这种差异对没有听说过此故事且不能一下子从指数的角度来分析此故事的人来说，是显性存在的，但对于三年级的学生来说，却不尽然。笔者在教学中注意到，在故事讲完之后，不同学生的感觉是不同的，有部分学生感觉到“不可思议”“太夸张”（这是学生的原话），也有部分学生没有任何感觉，这可以从学生的表情上看出来。

坦率地说，这个故事笔者很早之前就对学生讲过，但也只有在开始关注数感之后，才发现不同学生的反应其实是对应着不同学生的数感水平的。感觉到“不可思议”“太夸张”的学生，之所以有这种感觉，是因为在结果出现之前，他们已经初步猜想了一个结果——这个结果显然是用数来表示的，而当教师给出一个那么大的数之后，这部分学生会认识到两个数之间巨大的落差，从而产生了相应的心理刺激，最终表现为表情或语气的夸张；而没有感觉的学生，恰恰说明了他们的数感是不如前面那部分学生的，他们没有一种良好的用数来作为猜测结果的意识，对于两数之间的差异也缺乏必要的敏感性。

相应的测试放在四年级进行，也可以得到类似的结果，只不过比例有所不同。这说明三四年级的学生在数感的水平上表现出相似的分布，这也提醒我们在数感培养的过程中要注意分不同层次进行培养。

二、建立正确的小学数感理解

要培养学生的数感，教师首先要对数感有一个较为准确的理解。从经验的角度来看，数感更多的是直觉性的，说得通俗一点就是“关于数及数的应用的感觉”。也许有人说对数感不宜进行经验性理解，可有意思的是，实际上课程标准也没有对数感进行直接的定义，而是通过其外延来阐述的——数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。这样的阐述与上述通俗理解是比较一致的，因为无论是理解还是运用，实际上都是基于对数的感觉来进行的。而实际教学中，通俗理解既是数感培养的基础，也是数感培养的最终判断依据——如果学生对数的感觉好了，那就是数感形成了；而外延表述则更适合教师在教学的过程中形成数感培养的策略或思路。

成人由于生活经验的原因，通常都是具有数感的；而小学生由于生活经验的缺乏（生活中与数相关的情境缺乏），数感的形成就会更为缓慢。成人由于生活经验丰富，因而容易忽视学生生活经验缺乏对数学学习产生的消极影响，如果数学教师也有这样的现象，那可以肯定的是，这样的忽视会使得数感培养变得步履艰难。

因此，小学数学教师不仅要知道数感的通俗理解和数感的外延理解，更要从小学生认知特点与生活常识的角度，知道他们的生活经验与曾经的数学学习给他们提供了多少数感形成的机会。需要指出的是，常规的数的学习及数的运算，对数感培养的作用是极为有限的，筆者曾进行过跟踪调查，不少学生到了高年级数感仍然较差。所以不要指望学生天天学数、算数，就能形成数感，数学感的培养还是要讲求策略的。

三四年级的学生处于小学的中间学段，基本的数已经学过了，复杂的数及运算尚未遇到，此时进行数感培养是一个较好的时机。

三、数学教学中的数感培养策略

在笔者的研究与探索中，逐步积累了一些数感培养的策略。笔者在此进行阐述：

策略一：用单位度量生活事物，用数描述、解释生活问题。到了三四年级阶段，学生对单位相对熟悉，而在新的单位学习的时候，如果能够基于生活实例来帮助学生建立对单位的理解，是培养学生数感的基本策略；同时，数（指正数）已经是学生比较熟悉的了，因此用数解释生活问题而不是简单地用数描述生活，就成为培养学生数感的重要策略。如在“千克、克、吨”（三年级下册）的单位学习中，教材设计让学生“掂一掂”，如果简单地将“掂一掂”理解为学生的简单动作，那就比较肤浅了，这其实是一种体验，是为了建立一种基于生活事物的重量的理解，轻的物体先“称一称”，然后“掂一掂”，重的物体“估计一下”再“称一称”，这样学生就能形成对重量单位的比较准确的感觉，这种感觉就是数感。而利用数去描述、解释生活问题，也可以结合相关知识的教学来进行，比如说“认识分数”，生活中常常有这个东西只有那个东西价格的一半、三分之一这样的描述，将这样的生活事例引入课堂，让学生描述，让学生提问，就可以培养学生的数感。

策略二：感受大数的意义。第一点举出的例子中，是学生对大数数感的缺失，而大数的教学，特别有利于培养学生的数感。在北师大教材中，大数的学习是在二年级进行的，到了三四年级阶段，可以抓住一些契机来培养学生对大数的数感，如上面从“克”到“千克”，看起来是一个单位进制的数学问题，但也可以转变为实际问题：生活中为什么需要千克这个大单位？那是因为生活中会遇到大数；那什么是大数？再让学生去举生活中的例子，而学生所举的例子都会趋向质量超大的物体（这是小学生的认知特点），如大象的质量、地球的质量、太阳的质量等，而教师基于学生的原有认识再将这些数据以不同的质量单位提供给他们，他们在惊讶于这些质量的数值的时候，就会产生大数的感觉。

策略三：用负数描述生活。负数是课程改革之后进入小学数学的“新”内容，十多年来，笔者始终认为其有“新”意，是因为要帮助学生建立负数认识，并且初步形成负数的数感，还是有着不断挑战的价值的。而至今笔者感觉最好的办法，仍然是让学生用负数去描述生活。教材上给出的素材是累积性的，如给出北京、漠河等地区的气温，如果教师直接给出这些数据，学生是没有感觉的，而如果教师给出生活情境，告诉学生中国各地区的温度分布，并与自己所在地区的温度（冷暖程度）进行对比，那学生就可以产生生活认知，这种认知水平是远高于纯粹的数据累积的。因为有了生活，有了生活感受，有了基于冷暖程度的对比，学生对不同数值尤其是负数所表示的温度的感觉是不一样的，这样更利于学生形成关于负数的数感。

总的来说，对于三四年级学段的学生而言，这三个策略都是行之有效的数感培养策略。

四、由小学数感培养所想到的

数感培养作为小学数学教学的重要内容，一直是小数教研的重点。在研究数感培养的过程中，笔者想到了很多——如果说数感培养是一个引子的话，那其衍生出的是关于小学数学教学的很多有价值的思考。

比如说，包括数感培养在内的教学，如何基于小学生已有的生活经验去进行——学生在生活中的经历如何转换成能够服务于数学知识构建与能力形成的经验，是需要研究的。又比如说，如果遇到学生的生活经验不足，又该通过什么样的方式来充实学生的生活经验。再比如说，从生活语言的运用到数学语言能力的形成，其间要经过哪些教学过程？从数感培养的研究中，这些问题都是可以管窥答案的：情境是将生活经历转换成生活经验的有效办法；而生活经验不足，则可以通过生活事例列举或是数学活动来丰富学生的生活经验；数感的形成既是直觉，又是数学语言运用的能力，这种直觉与数学语言联系起来，可以成为学生的数学素养。

总之，在小学数学教学中，数感培养可以带动更多的教学思考，教师不妨以之为突破点，寻找小学数学教学的大智慧。