广东省广州市真光中学(510380) 苏国东

做中玩 玩中学—以几何画板培养学生自主学习探究能力为例

广东省广州市真光中学(510380) 苏国东

一、问题提出

近年来,几何画板得到了越来越多一线教师的重视和青睐.目前国内外对几何画板技术的研究相对较多且较为深入,许多优秀教师积极参与几何画板的教学探究.但在网上搜索多篇关于几何画板的文章,以及对部分数学教师调查后发现,大多数教师使用几何画板都是用于如何突破教学重难点,或较其他工具更高效呈现问题为主,即多注重教师的“教”,很少为帮助学生的“学”而设计.教师把几何画板作为课堂教学的演示工具,甚至在制作课件上花费了大量时间,但学生只能看到教师的制作成果,而不能亲自参与其中动手研究,无法在此过程中自主发现、提出、解决问题,无法很好地体现几何画板的应用价值.

事实上,几何画板强大的交互性为学生的学习探究提供了可能.让学生了解、学会运用几何画板,使几何画板成为学生自主学习探究数学的软件平台是十分必要的.随着计算机的普及,学生对电脑操作日益熟练,让学生自己操作几何画板研究数学问题是可行的.把“学数学”变为“做数学”,再变为“玩数学”,在做中玩,在玩中学,这将进一步发挥学生的主观能动性,也将极大培养学生探究问题的能力和创新意识.

二、几何画板对学生自主学习探究能力的培养

(一)体现学习自主,转变学习方式

几何画板给学生创造一个进行数学自主学习的平台,学生可以随意拖动图形,观察、探索、猜想并验证,有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性,充分体现以学生发展为本的理念.也因此,几何画板给学生的自主学习,如预习、课后习题解答、问题的深入探讨及拓展带来了巨大的改变.在传统教学中,学生较多是通过阅读教材资料等方式预习新内容,通过纸笔练习完成课后作业.然而有了几何画板,学生就可以用它在预习时进行简单的自主探索,再在课堂上定性的证明也就相对容易,课后习题的解答也可通过几何画板得以验证,对堂上没听懂的问题更是可以把课件带回家反复学习直至搞懂.

例如,在课前预习“等腰三角形三线合一”这一性质时,学生可先作出一个普通三角形的一组高、中线和角平分线,然后用鼠标改变三角形形状,使其逐渐变成等腰三角形,这时“三线”也逐渐合一,学生不仅知道了三线合一这一结论,还能了解这个合一的过程.这样,学生通过几何画板预习让自己在原有基础上有所提高,为正式课堂的教与学做好准备.

图1

(二)激发学习兴趣,提高动手能力

兴趣是最好的老师.几何画板有着强大的交互功能,集图、文、色一体,表象鲜明,只要轻轻拖动就能产生图形变化,探索想要的结果.大大提高了学生的学习兴趣与动手能力,实现从“学数学”到“做数学”的转变.

图2

例如,在教授二次函数y=ax2+bx+c的系数 a、b、c对图象的影响这一内容时,在传统的课堂中,动点不动、位置不变、度量不准,只能教师说、学生听,难以理解和记忆.但引进了几何画板后,教师可以先制作好课件,设置好参数a、b、c,绘制好相应的二次函数曲线y=ax2+bx+c,然后让学生动手操作探究.学生操作鼠标分别拖动改变a、b、c的值,观察出现的不同图象即可获得结论,迅速突破了教学重难点.这样既培养和提高了学生的动手能力,让学生主动获得新知,更让学生对二次函数图象的丰富变化产生了浓厚的兴趣.

(三)经历猜想验证,点燃研究热情

数学猜想是人的思维在探索数学规律和本质时的一种策略,是科学研究中常用的一种思想方法,它是一种推理,更是一种数学想象.在数学学习中适当地引入这种思想方法,让学生经历“提出问题—假设猜想—检验证明—归纳总结”的知识形成过程,可以有效地增强学生主动探索和获取数学知识的能力,促进学生创造性思维的发展.

图3

例如：在学习完点与圆、直线与圆的位置关系后,可向学生呈现例子：以长、宽分别为4、3的矩形ABCD的顶点A为圆心作圆,此时我们可以提出什么问题?学生认为可以研究：当圆的半径如何变化时,点B、C、D、边BC、CD所在的直线与圆各会产生哪些位置关系.学生纷纷利用几何画板做出给定矩形,再用画圆工具以A为圆心拖出一个圆,拖动圆周上的控制点即可观察图形的动态变化以及图形间的关系.由于软件作图非常精确,学生通过图形迅速写出了各种情况的位置关系及对应半径的范围.如何严格证明猜想正确?只要计算圆心到点、圆心到直线的距离即可,而这些距离都可以用几何画板做出、用“度量”功能得出,数值还能跟随鼠标拖动实时变化.在这过程中,学生不但习得了猜想验证的数学思想方法,而且掌握的结论有普遍性,通性通法易于推广.学生今后再遇到这类动态问题时,都能回忆起用几何画板亲历猜想验证的过程,做到知识上的迁移,数学思维和数学素养有了明显提升.

(四)训练数学思维,渗透数学思想

数学思想不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作用,而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响,形成数学学习效果的广泛迁移,实现思维能力和思想素质的飞跃.几何画板本身蕴含了丰富的数学思想,教师在利用几何画板教学和教会学生用几何画板制作课件的实践中要渗透数学思想方法,让学生学会用数学思想方法去解决、思考实际问题,从而锻炼学生创新思维,达到创新教育的目的.

图4

例如笔者让学生探究这个问题：长方形ABCD中,AB=4,四边形AFCE是边长为5的菱形．P、Q分别从A、C出发沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即P自A→F→B→A停止,Q自C→D→E→C停止.点P、Q的运动路程分别为a、b,且A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.题目没有给出速度与时间,P、Q的路程没有直接联系,难以切入.如果采用黑板教学,可想而知难度有多大.但若使用几何画板,就能把难题展现的如此清晰简洁.在几何画板中启用“跟踪点的轨迹”功能,当拖动这两点时,它们经过的路程会用红色表示.这时让学生上台操作讲解,学生发现拖动Q到CD上,P到AB上时,只要AP=CQ,四个红点A、C、P、Q就能构成平行四边形(如图4).把CQ补到AP处即有a+b=3+4+5=12,即△ABF的周长.这个过程的核心是什么,是学生寻找到了形成平行四边形的特殊时刻,拖动的过多或过少都不行,这就渗透了动态问题中“化动为静”的思想方法.问题解决完毕了吗?学生认为既然P、Q落在这一组平行边上可以成立,那应该还可以落在两三角形另两组平行边上,到底行不行?只要动动鼠标尝试即可,马上让另两名学生上台操作拖动P、Q推出了其他两边的情况(如图5、6).因为三角形有三边,又有了第一种情况做基础,所以“分类讨论”和“类比思想”顺理成章的通过几何画板体现了出来,渗透到了学生的解题思路中.

图5

图6

(五)实现探究试验,培养创新能力

俗话说“眼过千遍不如手做一遍”,近年来“数学实验”被越来越多的提及,它改变了以往教师讲数学、学生听数学的模式,让学生亲自动手做数学实验,反复观察、探索、发现新知.几何画板为数学实验提供了必要的工具和手段,利用它可以开展数学观察实验、验证性实验和探索性实验.几何画板不仅让学生认识到计算机等信息技术是数学发展不可或缺的工具,也给他们提供了一个发展奇思妙想的虚拟实验室,使他们从被动学习到主动学习,再到创造性学习,从“学数学”到“做数学”再到“玩数学”,激发他们的研究热情.

广州市每年都会举办“玩转数学——广州市初中生数学创新作品评比”活动,鼓励学生多做数学实验,多研究数学课题,加强数学的应用性.参赛的部分作品借助了几何画板作为载体,学生在展示过程中都能熟练操作几何画板作为他们探究实验的平台.比如2014年笔者指导的学生作品《照明设备的三种选择经济性对比研究》就用到了几何画板演示不同情况下函数的变化对比,2015年更是大量涌现了如《几何画板在图案设计中的应用》、《恒定直径图形中曲边五边形的探究与应用》等优秀作品,足以证明几何画板的实验创新价值.

三、“做中玩玩中学”的实践与探索

笔者在初二开设了名为《玩转几何画板解决数学难题》的校本课程,旨在探索几何画板对学生探究并解决数学难题及思维培养的巨大功能,课程分为四几个阶段：

第一阶段教师确定选题的几种类型,制作几何画板课件进行高效教学,并请学生上台自主操作软件进行讲题展示,激发学生学习积极性与兴趣.学生对几何画板高度认可,认为课堂上很有必要借助几何画板进行教学.

第二阶段开始借用计算机房对学生进行上机培训,教会学生几何画板软件的使用方法,学生人手一台计算机自主操作.学生对电脑操作都相当熟练,学习新软件不但没有困难,而且兴趣浓厚,求知欲旺盛.后阶段再以小组为单位精选题目,制作出几何画板课件.学生利用几何画板自主发现问题,自主学习探究,自主收获成功.

第三阶段以学生授课的新形式展示学习效果,利用制作的课件进行授课.学生操作几何画板配合电子白板讲解.台下学生通过自己的计算机随时同步操作,体会解题思路,也可举手提问或上台操作,讲解他个人的思路.几何画板真正成为了学生自主探究学习和交流的平台,成为了数学创新研究的虚拟实验室.

第四阶段回归实际,在平常的纸笔练习中,学生在头脑中形成几何画板的动态过程,突破难点,提升数学思维能力.从笔试检测和各类压轴题答题情况和成绩分析得知,参加校本课程的学生在数形结合、动态问题、解题热情和信心等方面都优于其他学生,数学技能掌握水平、应用数学知识和技能解决问题的能力有了极大提高.

四、应注意的问题

首先,教师要注意精心筛选、组织适合用几何画板教学或学生自主探究的数学内容,不能一概而论,对数学内容的目的、作用、对学生能力的培养点要有预见性.还要处理好常规教学和几何画板教学的关系,特别是教学任务与实验操作所花的时间的关系,避免出现失衡.其次,目前的部分中学生主动探究意识不强,没有认真钻研问题的习惯,质疑与创新能力、理论联系实际能力较弱,对培养效果有一定影响,需要教师对学情有正确分析以及精心的设计引导,有针对性的、有梯度的布置探究任务.第三,教师的信息技术能力有限,一定程度上会制约教学任务的全面开展,所以教师要利用课余时间认真学习几何画板的操作.第三,学校教学设备资源有限,在普通教室授课难以做到人手一台计算机,只能让学生上台操作讲台电脑来实现.如果要让学生进行自主学习或问题实验探究只能借用计算机房,一般可以先安排好每周课时任务,一周借用一到两次机房进行教学探究,或者学生利用放学后在家时间进行.

用好几何画板,发挥学生的主体作用,把“学数学”变为“做数学”,再变为“玩数学”,对培养学生勇于探索的学习品质、钻研探究的精神品质有着积极的促进作用.

[1]李启柱,数学建构主义学习的实质及其主要特征[J],数学通讯,2001,(5).

[2]胡晋宾,基于《几何画板》的计算机辅助数学教学[D],南京：南京师范大学课程与教学论(数学),2002.

[3]刘丹,几何画板在高中数学新课改中对学生数学思维能力的培养研究[D],云南：云南师范大学现代教育技术中心,2009.