浙江省平湖市稚川实验中学(314200) 徐永明

数学概念理解学习课例探讨

浙江省平湖市稚川实验中学(314200) 徐永明

数学学习的主要方面是概念学习,初中数学概念的表征趋于严谨和抽象,但概念教学大多仍局限在感性层面,缺少概括抽象过程,对概念深入理解不够．概念学习应该是对数学知识的本质揭示的过程,将新的知识纳入自己的原有知识体系中形成整体,才能对后续学习有效．

1.概念理解学习

数学概念的正确理解关键在于,使学生心中在已有的认知基础上建立起新概念的恰当的心理内化,即所学概念相联系的整体性质的认知结构或心智图像．概念理解学习就是,认识概念的由来,更重要的是明确概念的内涵及外延．牢固地掌握概念的表达形式,了解概念间的关系,形成概念知识系统,灵活运用概念知识解释有关数学问题．

一个数学概念往往是一个章节的核心知识,理解好概念为整章节的顺利学习以及今后学习奠定基础,因此,理解学习是数学概念课堂教学的核心．本文以七上《平方根》的课例做一探讨．

2.概念理解学习教学课例

学习平方根概念,是后面学习实数的准备知识,是学习二次根式,一元二次方程的基础.概念理解目标是,理解平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根．理解求一个正数的平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根,理解算术平方根的性质.为此让学生积极参与教学活动,激发学生学习概念的好奇心和求知欲．加强概念形成过程的教学,从特殊到一般的数学思想方法,从逻辑演绎到类比联想,鼓励学生进行探索和交流,促进学生概念的整体理解．

2.1 从逻辑关联、层次递进中问题引入,自主活动、启疑引新,实现概念基础认知．

图1

环节1.先请(同)学们完成以下填空,再思考后面两个问题边长为1.2的正方形的面积是___;面积为1.44的正方形的边长为___;

(4)思考：有没有一个数的平方等于一个负数?你认为(1)(2)(3)中分别是一种什么运算?

先动手操作尝试,再在相互交流的基础上逐个举手回答提出的问题,不断补充完善,达成共识．通过平方运算,让学生回顾知识,并熟悉平方运算规律和性质,从中引出逆向思维问题,激发学生的学习热情．从特殊性问题到一般性问题的归纳,促进学生对问题的本质理解.一般新知识都是建立在原有知识的基础之上的,这样引入新课是建立在学生对数字的规律和联系的把握上的,学生是比较容易接受的．体现“做中学”教学思想,以思维活动为导向,数学交流合作,注重数学思维能力的培养．

环节2. 师：这里问题(1)中已知什么,求什么?它是一种什么运算?

生：已知底数和指数,求其幂的运算,它是乘方运算!

师：这里指数为2时,是乘方中的平方运算!

师：那么你认为问题(2)(3)中又是一种什么运算呢?

生：已知指数和幂,求其底数,它是乘方(平方)运算的逆运算!

师：从方程角度看,这种运算过程是什么?

生：是解方程根的过程．

师：从以上问题观察,你发现x2=a的解x个数有何规律?

生：a为正数,有正负二个根,互为相反数;a为0时,x为零;a为负数,x不存在．

引导学生回答问题,然后由学生通过观察,并结合互逆运算的知识,启发学生找出等式两边存在的联系,发现归纳数学规律．这样有利于使学生意识到本章的学习将是前面所学知识的一个再发展的过程,并激发学生饱满的学习热情,引导他们以积极的态度和旺盛的精力主动探索,并且在思考中感受思维的美,在探索解决问题中体验快乐,从而获得最佳效益．注重逻辑思维能力培养,帮助学生揭示规律本质,理解概念的“来龙去脉”和相关联系点,以应对实际变化,促进理解．

2.2 从运算关系、数学表征中类比展开,对话讨论、由表及里,实现概念心理架构．

图2

环节3. 师：同学们,前面问题(1)我们求的是一个数的平方幂,请问一般情况下,若x2=a,则a叫作什么?

生：a是x平方幂!

师：那么这里的x应该怎么命名呢?

生1：方程的根．

生2：平方底．

生3：a的根．

师：很好,同学们都表达了x与a内在关系!综合大家的建议,为了更能显示x与a的关系,你觉得命名什么合理?

生：x是a的平方根!

师：很好,也可叫做x是a的二次方根!这就是我们今天要学的新概念,下面请位同学用中文语言来定义平方根的概念．

生：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根．

师：请尝试口答问题,的平方根分别是什么?的二次方根分别是什么?

先由师生商议后命名,由学生尝试自己定义,再在尝试口答问题的基础上归纳平方根的个数规律．让学生经历认知冲突,产生一种急切解决问题的愿望,促进学生进入对问题产生的数学本质的思考．平方根概念的引入,由实际问题引入,到提出问题,再到解决问题,最后归纳出问题的实质．本环节通过学生动脑,动口,充分调动学生学习的积极性,激发学生的求知欲望．教师让学生自己解决问题,并适时类比拓展知识,若x3=a,x4=a,···,xn=a,哪x分别叫什么?根的个数又如何呢?可根据学生情况,适当介绍.指出高中会圆满解决这些问题．鼓励学生进一步学习的心向,激发他们的想象力和求知欲望．

环节4.介绍表示法,正数a的正平方根用表示,(读做“根号a”);a的负平方根用表示,(读做“负根号a”);因此,一个正数a的平方根就用表示,(读做“正、负根号a”),其中a叫做被开方数．

直接介绍表示法,并用特例来加以说明,以促进理解．在尝试中规范符号表示法,化简的要求,并从上面尝试运算中引导感悟理解的存在性及大小．通过学生动脑,动口对平方根概念进行正说与逆说,加深对平方根概念的理解;然后在上面叙述的基础上提出平方根概念的符号表示方法后,再次利用学生所举的上列等式,提出问题：请你用符号语言来表示等式右边各数的平方根,并计算出结果.类比以前学的运算符号,学生对平方根概念的理解经历了由文字语言到符号语言的转化,由直观到抽象的转化,理解引进平方根运算符号的科学性．从1.96;2.25;2的平方根的计算结果中,提出的存在性及大小的估计,对虽不能求解,但能体会到它是一个介于1.4与1.5之间的数,培养学生探究问题的方法．

2.3 从辨析属性、联系运用中发展能力,尝试交流、反思内化,实现概念心智完善．

图3

环节5.师：前面问题(2)和(3)是一种什么运算?

生：求一个数的平方根!

师：对,我们把这种运算叫作开平方运算,即求一个数的平方根的运算叫做开平方,这个数叫被开方数,显然开平方是平方运算的逆运算．

师：我们知道,一个正数的平方根有正负二个,互为相反数;零的平方根为0,负数没有平方根．我们把正数的正平方根和零的平方根,统称算术平方根.即一个数a(a≥0)的算术平方根记做这样是怎样的数?

生：是一个非负数!

师：由于的被开方数a也是非负数,因此称√a具有双重非负性．

巩固尝试：(1)求下列各数的算术平方根．

理解开平方运算及结果形式和算术平方根,规范书写逻辑格式．有了前面的问题预设,顺势利导,容易得出和理解下位概念及相关性质．在教师示范格式的基础上,让学生板演完成,讨论、纠错.进一步加深根号的形式理解,避免概念的混淆．以讨论辨析为主,针对学生在解题过程中容易出现的错误进行一定的讲解.从关系运算上升到符号形式运算,计算m2的算术平方根包含着分类讨论思想运用．学生经历观察、猜想、验证、归纳等,使他们经历发现问题、提出问题、解决问题．

环节6.课堂巩固练习．基础题：1.下列各数有没有平方根?如果有,求出它的平方根和算术平方根：

学生自主练习完成为主,由学生板演、纠错、议论为辅．教师巡视,适时个别指导．通过练习,使学生将所学知识内化为自己的知识,通过对问题情境的适当变化,以促进学生对知识的灵活掌握．所设计练习具有典型性,可讨论性,较强的检测性．

提高题：3.如图4,若小正方形的边长为1,则阴影正方形的边长为___;若大正方形的边长为a,则阴影正方形的边长为___．

图4

4.已知一个长方形的长是宽的2倍,面积为72,求这个长方形的周长．

在完成基础题的基础上,让学生独立思考完成,后交流思想方法．让学生进入最近发展区,加强对学生知识应用能力的培养,完善学生的认知结构．在学生思考的基础上,注重思维方法启发．问题3的解决有助于观察能力、数形结合思想运用能力培养,另外可进一步得出存在性,并在整数1与2之间,验证了前面合理猜想．问题4的解决有助于数学分割思想和方程思想的灵活运用．两题的解决体会到平方根概念运用的几何意义及代数运算工具的重要性,促进学生心智进一步完善．

最后从学习知识、探索知识的方法、有何启示来进行总结．反思小结中要结合课堂所呈现的问题方法回顾,提炼思想方法,进一步疏理知识结构,优化学生的数学思维,提高对数学思想方法的认识,完善概念心智水平,增进树立学习自信心,以利于今后的学习．

3.教学后记

3.1 注重学生的自我习得

教学中通过学生的尝试、发现、释疑、解疑完成教学任务,学生用动手观察、分析、合作、交流等手段,获得数学的体验,并通过分析、归纳、抽象,帮助学生逐渐形成自己的数学知识．紧紧抓住互为逆运算,通过互逆运算实际例子的引入,让学生自己动手,使学生能够在活动的过程中,主动发现,主动探索知识和主动建构所学知识的意义．经历探索平方根性质的过程,并能在与他人交流的过程中,合理清晰地表达自己的思维过程．

3.2 理解载体的合理设计

概念的理解过程不能以死记硬背和机械模仿来完成,不然不仅不能很好理解概念,而且对学生理性思维发展造成伤害．应通过设计问题载体让学生进行分析、综合、归纳、抽象、类比等,概括出概念的本质特征．在问题和练习中突出数学思维能力,进行数学地思考问题,以逐渐加深和强化对概念的理解．要综合运用各种教学方法和教学手段,优化课堂,力求使学生能正确理解概念,从而能够灵活使用概念解答问题．

3.3 过程概括的应用完善

概念教学的核心就是概括,教学中要将数学概念中的发现、归纳、抽象的思维活动打开．设计典型具体问题事例为载体,引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念、理解概念,在多种场景运用中提升概念的内化能力,达到完善的概念心智水平．这对发展学生的数学能力具有基本的重要性,实现对接教学的目的,支撑起学生今后的数学学习．

[1]李善良著.现代认知观下的数学概念学习与教学[M].南京：江苏教育出版社,2005

[2]张颖.初中数学概念教学方法初探[J].数学教学通讯.2011年第09期

[3]罗增儒.数学概念的教学认识(续)[J].中学数学教学参考.2016年11期