陈玉奇

(江苏省姜堰中等专业学校,江苏 泰州 225500)



光滑抛物面中细杆平衡问题的研究

陈玉奇

(江苏省姜堰中等专业学校,江苏 泰州 225500)

利用力学知识结合数学推导,得出了均质细杆在光滑抛物面中的平衡条件和平衡位置,并对细杆的稳定平衡位置进行了较为详细的证明．

抛物线; 均质细杆; 稳定平衡

抛物线是一种非常重要的圆锥曲线,很多资料对抛物线的几何性质及应用的研究已经达到了相当完美的程度,但是抛物线的力学性质对我们来讲却比较陌生．如一根均质细杆放置于光滑抛物面内,其受力情况如何?杆的平衡位置有何特点?本文将对此进行分析研究．

1 细杆在抛物面中的平衡条件及位置的分析

图1

将一根长为L的均质细杆AB放入光滑抛物面内,如图1,现分析细杆的受力情况．

设抛物面的轴截面方程为x2=2py,式中p为抛物线的焦准距,且p>0,并设细杆只在这条抛物线内运动;细杆AB所在的直线方程为y=kx+b;细杆AB与抛物线的两个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)．

细杆AB的受力情况如图1所示,该细杆受A、B两处的弹力和自身的重力而平衡,根据三力汇交原理可知,杆平衡时,弹力N1、N2和重力G的作用线必相交于一点,记为D．

A点和B点的切线斜率分别为

所以AD所在的直线方程为

(1)

BD所在的直线方程为

(2)

联立(1)、(2)式得两直线交点D的横坐标为

(3)

由前面分析可知,细杆中点的横坐标与xD相等,即

(4)

pk=2kb.

(5)

可知(5)式成立是细杆受力平衡的充要条件．

具体有以下几种情况.

(1)k=0,(5)式恒成立,与L无关,即细杆水平放置,必然平……