郑玉秋

【摘要】在一般的赋范空间，我们给出了向量集上有效解的定义，从几何、代数角度描述了它的性质，并证明了有效解及弱有效解的关系.

【关键词】多目标规划；赋范空间；有效解

【基金项目】项目名称及编号：《亚纯函数正规族及相关问题》（NEPUQN2014-23）.

多目标最优化是近20年迅速发展起来的一门新兴学科，作为最优化的一个重要分支，它主要研究在某种意义下的多个数值目标同时最优化问题.多目标最优化的起源可以追溯到经济学中A.Smith（1977）关于经济平衡和F.Y.Edgeworth（1896，1906）在经济福利理论著作中，不仅提出了多目标最优化问题，并且还引进了pareto最优化概念，这对多目标最优化学科的形成起着十分重要的作用和深远的影响.

多目标规划是在变量满足约束的条件下，研究多个可数值化的目标函数同时最小化的问题，一般地，多目标规划可以描述成如下形式：

（VP）minf（x）=（f1（x），f2（x），…，fp（x））T，x∈R，

S={x∈En|g（x）=g1（x），g2（x），…，gm（x）}T≤0，

h（x）=（h1（x），h2（x），…，hi（x））T=0，

其中x是决策变量，gi（x），hj（x）是约束变量.

多目标遇到的问题是如何衡量目标函数的好坏，我们知道对于单目标规划来说，对任意的x1，x2∈R，总可以比较f（x1），f（x2）的大小，但对于多目标来说，就不那么简单了，因为这时f（x1）=（f1（x1），f2（x1），…，fP（x1））T与f（x2）=（f1（x2），f2（x2），…，fP（x2））T，实际上都是P维向量，如何比较它们的大小是新问题，如何界定多目标最优化解的概念成为一个首要问题，多目标规划的概念通常与向量集的有效点的概念有比较密切的关系.

一、预备知识

在讨论向量集的有效点之前，约定如下记号：对于任意两个向量x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T∈Rn，令x=yxi=yi，i=1，2，…，n；x

定义1 给定一个向量集x∈Rn，对于点x0∈X，若x∈X，有x0≤x，则称x0是X的绝对最小点（即绝对最小向量）.

定义2 若不存在x∈X使得x

集合X的所有绝对最小点、有效点和弱有效点的集合分别记为Ea，Ep，Ewp.

为了从几何角度描述有效点和弱有效点，我们约定：将X平移x0得到的集合记为X+x0；非负锥Rn+={x∈Rn|x≥0}；正锥Rn++={x∈Rn|x>0}.

下面这个定理将从几何的角度描述有效点及弱有效点.

定理1 设x0∈XRn，则

（1）x0是X的有效点，即x0∈EpX∩（x0-Rn+）={x0}.

（2）x0是X的弱有效点，即x0∈EωpX∩（x0-Rn++）=.

若对任意给定的范数空间X，Y，AY，CY是Y上的凸锥，intC≠，定义在Y上的有效点和弱有效点有下面的性质：A∩（x0-C）={x0}，A∩（x0-intC）=.

下面从代数的角度描述有效点和弱有效点的特征.

定理2 给定x0∈XRn，考虑下面条件：

（1）对于某个η∈Rn++，函数ηTx=∑ηixi，x∈X在x0处取到最小值；

（2）对于某个η∈Rn+，η>0，函数ηTx（x∈X）在x0处取到严格最小值；

（3）对于某个η∈Rn+，η>0，函数ηTx（x∈X）在x0处取到最小值.

若条件（1）或（2）成立，则x0是X的有效点，若条件（3）成立，则x0是X的弱有效点.

定义3 设x0∈S，如果不存在x∈S，使f（x）

根据定义3我们知道多目标规划的（弱）有效解与其目标可行域的（弱）有效点有紧密联系，我们归纳成如下定理.

二、主要结果

定理3 对于多目标规划问题（VP），令Z=f（S）表示目标函数在定义域S上的值域（目标可行域），Z的有效点集和弱有效点集记为Zp和Zwp，则有：

（1）Sp=∪f*∈Zp{x∈S|f（x）=f*}；

（2）Swp=∪f*∈Zwp{x∈S|f（x）=f*}.

至于集合Sa，Sp，Swp之间的关系，有如下定理.

定理4 对于多目标规划问题（VP），必有

（1）SaSpSwpS；

（2）当Sa≠时，Sa=Sp；

（3）若可行域S为凸集，f是S上严格凸的向量函数（即fi=（i=1，2，…，p）都是S上的严格凸函数），则Sp=Swp.

证明 先证（1），当Sa=时，结论自然成立.当Sa=时，若存在x*∈Sa，但x*Sp，则根据有效解Sp的定义，可知存在x∈S，使得f（x）

再证SpSwp，此時，不妨设Sp≠，若存在x*∈Sp，但是x*Swp，则存在x∈S，使得f（x）

（2）根据结论（1），只需要证明SpSa，假设x*Sp，但是x*S.由于Sa≠，所以存在x∈Sa，使得f（x）≤f（x*）.注意到x*Sa，所以f（x）≠f（x*），于是得到f（x）

（3）根据结论（1），我们只需证明SwpSp.假设x*Swp，但是x*Sp.根据有效解的定义，存在x∈Sa，使得f（x）