吴秀吉

【摘要】本文介紹刘徽“割圆术”原理和重要极限在圆周长、面积公式证明中的应用，并就小学阶段教学圆的周长公式和面积公式提出积极的建议.

【关键词】割圆术；正多边形逼近；极限

在小学算术书中，都知道半径为r的圆的周长为C=2πr，面积为S=πr2，其中π是圆周率，是常数.那么圆的周长公式和面积公式是怎样得到的呢？对此，笔者曾作过调查，发现大多数学生不知道，甚至很多数学教师也不以为然.小学教师以学生听不懂为由，课堂上略讲或不讲；中学教师以为那是小学教师的事.所以，关于圆的周长公式和面积公式的教学成为我们教学中的一个薄弱环节，长此以往对学生的发展极为不利.

其实，我国古代数学家刘徽早于魏景四年（公元263年）创立了“割圆术”，它就是借助圆的一串内接正多边形的周长数列的稳定变化趋势定义了圆的周长[1].这里我们继续延用“割圆术”的思想原理和通过对极限的计算来证明圆的周长、面积，以期使证明更加简洁明了.

一、圆的周长

如图1，首先，作⊙O的内接正三边形A1A9A5其次，平分A1A9，A9A5，A1A5所对的弧A1A9，A9A5，A1A5的中心分别为A11，A7，A3，依次连接A1A11，A11A9，…，A3A1就得⊙O的内接正六边形A1A11A9A7A5A3，以下用同样的方法，继续作⊙O的内接正十二边形，⊙O内接正二十四边，等等.如此继续下去就可以作⊙O的内接正3·2n-1边形（n=1，2，3，…），无论正多边形的边数怎样多，每个圆内接正多边形每边所对的弧所对的圆心角都是已知的.于是，得到一串圆的内接正多边形的每边所对的弧所对的圆心角数列：θ3，θ6，θ12，…，θ3·2n-1，…；其中……