王大宁

【摘要】本论文探讨了立体几何中二面角的问题，用多种思维方式有效地解决了求解二面角的余弦值问题.

【关键词】二面角；余弦值；直角坐标系；向量

立体几何是每年高考必考的内容之一，由于考生在这部分推理不够严谨，笔误较多，定理掌握得较含糊，所以得分率也是最低的.2013年高考数学重庆卷（理）中第19题（2）问是求二面角B-AF-D的正弦值，由于二面角的范围是180°，所对应的正弦值都非负，所以不用判断所求值的符号，这在一定程度上降低了该题的难度.若将该问改为“求二面角B-AF-D的余弦值”，就应该判断该二面角为锐角还是钝角，这将会成为很多考生的一个难题，接下来我介绍几种不需要先判断二面角的大小的方法对这道题进行讲解.

例 如图1，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AP=23，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π3，F为PC的中点，AF⊥PB.求二面角B-AF-D的余弦值.

图1

方法一 （几何法）

分析 根据二面角的平面角的定义，在AF上找一点G分别在两个半平面上作AF的垂线，从G点出发的两条射线所成的角即为二面角的平面角.

图2

解 根据题意，可过B作BG垂直AF于G，连接DG，易证△ABF≌△ADF，所以DG⊥AF，

则∠BGD为二面角的平面角.

在△ABC中，由余弦定理可知AB=23，BC=2，AC=4，则AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，

又因为PA⊥BC且PA∩AB=A，得BC⊥面PAB，所以BC⊥PB，

在Rt△PAC和Rt△PBC中，AF=BF=12PC=7，在△ABF中，由等面积法得BG=2×237=4217，

所以，DG=BG=4217，BD=AB=23.

在△BGD中，cos∠BGD=BG2+DG2-BD22BG·DG=18，

所以，二面角B-AF-D的余弦值為18.

方法二 （向量法1）

分析 根据二面角的定义，二面角可由线线角表示出来.所以，过B，D分别作BG⊥AF，DH⊥AF，由向量的平移性知，任意两个向量都可以移到共同的起点，则GB和HD所成的角即为二面角B-AF-D所成角.

图3

解 如图3，建立空间直角坐标系O-xyz，则A（0，-3，0），B（3，0，0），D（-3，0，0），F（0，-1，3），

设G（x1，y1，z1），H（x2，y2，z2），则GB·AF=0，AG=λAF，

解得G0，-97，637，同理可得H0，-97，637，

所以，GB=3，97，-637，HD=-3，97，-637，

cos〈GB，HD〉=GB·HD|GB||HD|=18，

所以，二面角B-AF-D的余弦值为18.

小结 以上几种方法都有效地避免了判断二面角为锐角还是钝角，可以提高考生的解题质量.当然，这里还有其他方法，以上只是个人看法，仅供参考.

【参考文献】

[1]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心，编著.数学·必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心，编著.数学·选修2-1[M].北京：人民教育出版社，2007.