李锦成

文[1]简证了“函数y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的图像”是以直线x+d=0，y=ax+c为渐近线的双曲线，在中学阶段对含有交叉项xy的二次函数（因只学过坐标平移变换，没学过坐标旋转变换）要说明函数的图像确实困难.而文[1]的证明过程都是中学生能接受的，因此，它对一类二次函数的图像问题提供了一种有效的解决方法.

例1 函数2x2+3xy+2x-y+5=0的图像是什么图形？

解 将2x2+3xy+2x-y+5=0变形为

y=-23x-89+-5327x-13，

符合y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的形式.

∴函数的图像是以直线y=-23x-89和x-13=0为渐近线的双曲线.

例2 讨论函数Ax2+Bxy+Dx+Ey+F=0（A·B≠0）的图形问题.

解 将Ax2+Bxy+Dx+Ey+F=0变为

（Bx+E）y=-Ax2-Dx-F.

1.当Bx+E=0，并且x=-EB是函数Ax2+Dx+F=0的一个根时，函数图像只表示直线x=-EB，否则无图像.

2.当Bx+E≠0时，y=-Ax2-Dx-FBx+E，∵B≠0，A≠0，∴y=-ABx2+DAx+FAx+EB，

整理得y=-ABx+AE-BDB2+BDE-AE2-B2FB3x+EB.

（1）當BDE-AE2-B2F=0时，函数为直线y=-ABx+AE-BDB2；

（2）当BDE-AE2-B2F≠0时，应用文[1]定理可知：函数图像是双曲线.

最后补充说明，文[1]还可以：当a=0，b≠0时，y=c+bx+d仍然是双曲线.

∵平移坐标轴令y′=y-c，x′=x+d，故y=c+bx+d可变为y′=bx′，

∴仍然是双曲线.

另外，Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0）也是属于双曲线型函数.

【参考文献】

[1]李晶，张国坤.“函数y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的图像是双曲线”之简证[J].数学通报，2004（8）：44.