董春芳，石德刚

(天津冶金职业技术学院，天津 300400)

渐近线问题研究

董春芳，石德刚

(天津冶金职业技术学院，天津 300400)

现今高等数学、数学分析教材中关于渐近线内容的研讨不尽完善，比较含糊，存在欠缺.为此，本文完善了渐近线的定义，依据本文给出的渐近线的定义求函数曲线的渐近线时，不会丢失渐近线. 同时，本文对函数曲线与其渐近线的交点、函数的无穷间断点与函数曲线的垂直渐近线的关系、函数曲线的水平渐近线和斜渐近线的关系进行了系统的研讨. 本文阐明了求函数曲线的渐近线的步骤和方法，指出不用斜渐近线的系数公式可以直接用斜渐近线的定义，将求斜渐近线的系数转化成求含有参数的极限.

垂直渐近线；水平渐近线；斜渐近线；交点；无穷间断点；系数公式

渐近线是高等数学中一个重要概念，函数曲线的渐近线对确定函数曲线的走向、形状有着非常重要的意义.若一条函数曲线存在渐近线，求出该函数曲线的渐近线就可以知道这条函数曲线无限延伸时的走向及变化趋势，进而可以更加全面和更加细致地研究函数曲线的性态. 同时，研讨函数曲线的渐近线对函数极限概念的进一步理解也是很有帮助的.

一、垂直渐近线

二、水平渐近线

三、斜渐近线

对上面两式取x→时的极限，并用极限的四则运算法则与无穷小的代数性质得求斜渐近线的系数公式

例3 求曲线y=x+arctanx的渐近线.

所以，当x→-时，曲线y=x+arctanx的斜渐近线为直线；当x→+时，曲线y=x+arctanx的斜渐近线为直线

若忘记了求斜渐近线的系数公式，可以直接用斜渐近线的定义，将求斜渐近线的系数转化成求含有参数的极限. 下面以例3为例予以说明：

所以，当x→-时，曲线y=x+arctanx的斜渐近线为直线；当x→+时，曲线y=x+arctanx的斜渐近线为直线

由水平渐近线和斜渐近线的定义知，在同一方向上(x→-或x→+或x→)，曲线不可能同时存在水平渐近线和斜渐近线，但是在不同方向上，曲线可以同时存在水平渐近线和斜渐近线.

[1]张会凌,李忠义.轨迹与方程[M].兰州:兰州大学出版社,1996.

[2]梅向明,刘增贤,门树慧.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1988.

[3]李晓萍.平面曲线的切线与渐近线[J].工科数学,2000,(06).

[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.

[5]吴纪桃，漆毅.高等数学[M].北京:北京大学出版社,2006.

Research on Asymptotic Line

DONG Chun-fang, SHI De-gang

(TianjinMetallurgicalVocationalTechnicalCollege,Tianjin, 300400)

discussion on asymptotic line can be found in advanced math material and math analysis textbooks, however, the discussions are not perfect, ambiguous and incomplete. Thus, the paper tries to improve the definition. The asymptotic line will not be lost if we use the definition given in this paper to find the asymptotic line of function curve. Meanwhile, systematic discussions are made on the following aspects - point of intersection between function curve and its asymptotic line, relation between infinite discontinuity of the function and vertical asymptote of the function curve, relation between horizontal asymptote of the function curve and oblique asymptote. The paper illustrates the steps and methods to find the asymptotic line of function curve. It also states that, by directly using definition of oblique asymptote other than coefficient formula of oblique asymptote, we can find limit with parameters other than coefficient of oblique asymptote.

vertical asymptote; horizontal asymptote; oblique asymptote; point of intersection; infinite discontinuity; coefficient formula

2014-11-11

董春芳(1982-)，女，天津人，讲师，研究生在读，研究方向：数学与应用数学；石德刚(1960-)，男，天津人，副教授，本科， 教研室主任，研究方向：高等数学教学研究。

O13

A

1673-582X(2015)02-0093-04