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一个优美不等式的新证与推广

2017-06-20董义宏

数学学习与研究 2017年11期
关键词:推广

董义宏

【摘要】本文采用两种新的方法对一个优美不等式进行了证明,并从维数上进行推广.

【关键词】一个优美不等式;新证;推广

安振平老师在《中学数学教学参考》2010年第1期[1]上给出了26个优美不等式,第17个不等式是这样的:设a,b,c是正实数,a+b+c=3,证明a2b+c+b2a+c+c2a+b≥a2+b2+c22.文[2]用切比雪夫不等式给出了证明并对指数和维数做了推广,经过思考,现给出两种用中学常用的不等式知识就能推出的证法,并从另一角度对这个等式做出推广.

证明(一) a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a4a2(b+c)+b4b2(a+c)+c4c2(a+b)

≥(a2+b2+c2)2a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),

而a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)

=(a+b+c)(a2+b2+c2)-(a3+b3+c3)

=(a+b+c)(a2+b2+c2)-2(a3+b3+c3)2

=(a+b+c)(a2+b2+c2)-

(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)2

≤(a+b+c)(a2+b2+c2)-

(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)2

=(a+b+c)(a2+b2+c2)-

a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)2,

因此,a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)

≤(a+b+c)(a2+b2+c2)-

a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)2.

于是a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)≤2(a2+b2+c2),

a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a4a2(b+c)+b4b2(a+c)+c4c2(a+b)

≥(a2+b2+c2)2a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)

≥(a2+b2+c2)22(a2+b2+c2)=a2+b2+c22.

证法(二) a2b+c+b2a+c+c2a+b

=a23-a+b23-b+c23-c

≥(a2+b2+c2)23(a2+b2+c2)-(a3+b3+c3)

≥(a2+b2+c2)23(a2+b2+c2)-(a+b+c)(a3+b3+c3)3

≥(a2+b2+c2)23(a2+b2+c2)-(a2+b2+c2)23

=(a2+b2+c2)3-a2+b2+c23

≥a2+b2+c23-(a+b+c)29

=a2+b2+c22.

現给出这一命题的推广:

设a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=n,则

a21n-a1+a22n-a2+…+a2nn-an≥a21+a22+…+a2nn-1.

证明 a21n-a1+a22n-a2+…+a2nn-an

=a41a21(n-a1)+a42a22(n-a2)+…+a4na2n(n-an)

≥(a21+a22+…+a2n)2n(a21+a22+…+a2n)-(a31+a32+…+a3n)

=(a21+a22+…+a2n)2n(a21+a22+…+a2n)-(a1+a2+…+an)(a31+a32+…+a3n)n

≥(a21+a22+…+a2n)2n(a21+a22+…+a2n)-(a21+a22+…+a2n)2n

≥(a21+a22+…+a2n)2n(a21+a22+…+a2n)-(a21+a22+…+a2n)(a1+a2+…+an)2n2

=a21+a22+…+a2nn-1.

【参考文献】

[1]安振平.二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考,2010(1):136.

[2]刘艳,魏春强.第17个优美不等式的证明与推广[J].大观周刊,2012(48):267.

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