刘仕田

(四川文理学院 数学学院，四川 达州 635000)

1 背 景

曲线的渐近线能够很好的控制图形，因而给出其渐渐线尤为重要.李晓萍[1]给出了平面的切线与渐近线的关系，并提出了下面的问题:设函数y=f(x)在区间(a,∞)连续，过点(x,f(x))和(x+1,f(x+1))的割线方程为：Y=f(x)=(f(x+1)-f(x))(X-x).当x→∞时，割线与函数的渐近线有什么关系？

在本文中，一方面给出了Pα渐近线存在性定理，其次对问题进行了回答.

2 基本概念及其基础知识

定义1[4]若曲线C上动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与定直线L的距离区域0，那么称直线L为曲线C的渐近线.

根据定义1， 可以得到下面的常见定义.

我们对斜渐近线和P2推广，得到下面的定义.

定义3假设a0,a1,a2是常数且常数α2≥α1≥0.若当曲线f(x)上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某曲线y=a2xα2+a1xα1+a0的距离趋于0.如果a2≠0,那么称曲线y=a2xα2+a1xα1+a0为曲线的Pα2-渐近线;如果a2=0但a1≠0，那么称y=a1xα1+a0为Pα1-渐近线；如果α2=α1=0，那么y=a0是水平渐近线.

注释1若α2=2,α1=0或1，则Pα2渐近线就是P2-渐近线；若a2=0,α1=1，则Pα1渐近线就是斜渐近线.

注释2显然若存在Pα2渐近线，必然有α2>α1≥0.

定义4假设ai，αi是常数，i=1,2,…,n且满足αn>αn-1≥…≥a0≥0.若当曲线f(x)上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某曲线y=anxαn+an-1xαn…+a1xα1+a0的距离趋于0，那么称y=anxαn+an-1xαn…+a1xα1+a0是曲线的Pαn渐近线.

3 Pαn渐近线存在性

本节主要就定义3，讨论曲线渐近线存在性问题.

由此可知，存在Pα1-渐近线y=a1xα1+a0.

由极限运算法则，可得:

注释由命题2，同样地可以得到Pαn渐近线存在性的命题.

4 问题的解答

于是我们可得渐近线为：

可以验证,当n=1,2,3时，可以得到文[2]的形式.

结 语

本文讨论关于渐近线的一个推广.我们对以直线或以二次多项式为渐进线的函数做了进一步的考虑，并且将其推广到是αn次多项式为渐近线(这里分数次多项式是如下的形式的多项式：anxαn+an-1xαn-1+…+a0这里an≠0且αn>αn-1≥…≥α1≥0≥0).对于存在性命题2，是否可以利用泰勒公式了考虑？因此我们就此提出一个问题：

问题：如果考虑函数的导数，那么如何得出相应的存在性定理？