郑志刚

【摘要】本文主要通过分离常数、反求、判别式法、均值不等式、换元、求导等方法来解决解析几何中的分式型最值，将这类最值题型进行了仔细的分析和整理.

【关键词】分离常数；反求；判别式法；均值不等式；换元；求导

解析几何中的最值问题是考试的热点，涉及的知识点也很多，有一种题型也经常考，那就是分式型最值，比如，2016年全国卷第20题，不仅如此，2011年和2014年的全国卷第20题都是这种题型.常用方法有分离常数、反求、判别式法、均值不等式、换元、求导等.我们通过以下例子来分析具体应该用什么方法，是否有通性通法.

题型一 ax2+bcx2+d型，这种题型分子、分母齐二次，且不含一次项.若定义域不是R，可以考虑分离常数或反求，分离常数后转化成反比例函数类型，利用数形结合求最值，反求则是用y来表示x2，利用x2的范围反求出y的范围.一般可以分离常数就可以反求，如果学生分离常数计算不过关，且反比例函数掌握得不好，可以用反求法，更容易计算成功.若定义域为R，则考虑判别式法.

例1 （2016年全国卷第20题）x2+y2+2x-15=0的圓心为A，l过B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于E.

（1）求证|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.

（2）设E的轨迹方程为C1，l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ的面积范围.

分析 考虑到直线l的斜率可能不存在，同时直线l又刚好不与x轴重合（即斜率不为0），所以把直线l设成x=ty+1，留y运算，同时弦长公式用1+k2Δ|a|表示，其中|a|是二次项的系数.这样会比直线l用点斜式……