陈娟++李建军

在高考中，绝大多数学生都恐惧圆锥曲线问题.圆锥曲线到底难在哪里呢？两个方面，一是思维，不理解问题的实质，不知道算什么，二是计算量大，计算复杂.而事实上，只要解决了第一个问题，第二个问题也就不难了，因为没有问题的切入点，不明白算什么，所以才没有办法，也没有算下去的信心.这里，我就近几年的高考题，总结出几个解题思路.

类型一：问题是以几何图形或者几何语言形式出现的——数形结合，转化为数量关系

例1 （2015·新课标全国卷Ⅰ理科20）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=x24与直线y=kx+a（a>0）交于M，N两点.

（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

分析 （1）略.

（2）问题中∠OPM=∠OPN反映了什么本质呢，作出图形，设PM，PN与x轴分别交于点A，B，由∠OPM=∠OPN容易得出∠PAO=∠PBO，又∠PAO为PM的倾斜角α，∠PBO为PN的倾斜角β的补角，α+β=π.从而kPN+kPM=0.又斜率与坐标有关，于是就可以用韦达定理解决，这样，几何问题就转化为代数问题，找到解题思路.

例2 （2015·新课标全国卷Ⅱ理科20）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

（2）若l过点m3，m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.

分析 （1）略.

（2）四边形OAPB为平行四边形，是想说明什么问题呢？先分析平行四边形有什么特点、性质.① 对边平行且相等；② 对角线互相平分.由①可以想到kPB=kAO且|PB|=|AO|，由②可以得中点重合，显然，②这个性质用起来更方便.设直线l的斜率为k，因为直线l过点m3，m，所以l：y=kx+m（3-k）3，又OM的方程为y=-9kx.设点P的横坐标为xp.

由y=-9kx，9x2+y2=m2， 得x2p=k2m29k2+81，即xp=±km3k2+9.又xP=2xM，于是±km3k2+9=2×k（k-3）m3k2+9，解得k1=4-7，k2=4+7.

方法小结 这一类问题的关键是将图形问题利用数形结合转化为数量关系，主要利用图形的几何性质和特点进行转化.

类型二：求范围或者最值问题——基本思想为构造函数或解不等式

例3 （2016·新课标全国卷Ⅰ理科20）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直線l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

分析 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由于要求四边形MPNQ的面积，则要求出弦长|MN|，|PQ|.此题思路不复杂，计算稍微烦琐，基本思想是构造函数.

例4 （2015·新课标全国卷Ⅱ理科20）已知椭圆E：x2t+y23=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

分析 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）由题知t>3，由2|AM|=|AN|，可以得到k与t的等式关系，然后利用t>3这个条件构造不等式，即可求出范围.

方法小结 求范围或最值，基本思路就是构造函数或不等式，尤其是构造不等式，怎么去寻找不等关系，建立与所求参数的联系，是解题的切入点，除了上面提供的思路，有时还会利用判别式，曲线之间的位置关系来建立，当然，这样的问题思路比较容易找到，这里就不列举了.