邓解强

摘 要：有关导数在函数中的应用，主要类型有：求曲线的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值、利用函数的单调性证明不等式等，这些类型是高中数学学习本章的重点，也是“新课标”下高考的重点和热点。导数在函数中的应用，是分析和解决函数问题的有效工具。

关键词：导数 曲线的切线 单调性 极值和最值

导数应用的重要性和广泛性，我们从每年高考的《考试说明》当中可以充分体会到。有关导数在函数中的应用，主要类型有：求曲线的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值、利用函数的单调性证明不等式等，这些类型是高中数学学习的重点之一，也是“新课标”下高考的重点和热点。由于导数其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法，因此在高考中占有较为重要的地位，其考查重点是利用导数求曲线的切线方程、函数的单调性、函数的极值和最值、不等式的证明等问题方面。本文简要谈一下导数在这几个方面的应用。

一、利用导数求曲线的切线方程

例1：（2016年全国III高考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。

解：f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），当x<0时，f（x）=ln（-x）+3x，即有x>0时，时f（x）=lnx-3x，f′（x）=1x-3，可得f（1）=ln1-3=-3，f′（1）=1-3=-2，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程为y-（-3）=-2（x-1），即为2x+y+1=0。

例2：求在点处的切线方程。

解：设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，

又，故，。

即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

点评：要注意所给的点是否是切点，若是，可以直接利用导数的几何意义求解；不是则需设出切点坐标，再结合导数的几何意义、直线的斜率求解。……