周东琼

【摘要】级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中它都处于重要地位。级数能表示某些非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；同时，可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。因此我们有必要学习级数这个概念，本文对级数思想的起源与发展、级数的研究内容进行探究。

【关键词】函数 级数 起源 发展 敛散性

那么，什么是级数呢？看下面两个例子。

例1.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。如果把每一天截下的那一部分的长度加起来，则得到下面的式子：

该式子中有无限个数相加。从直观上看，它的和显然是1。

例2.将 与 无限循环相加，得到下面的式子：

若将它写成： 则结果无疑等于0

但是，若写成 则结果又等于1。

有限个常数相加一定有和，但是无穷个常数相加（数项级数）或无穷个函数相加（函数项级数）的结果就不尽然了。

1.级数的萌芽

历史上级数出现得很早，早在公元前4世纪就知道公比小于1（大于零）的几何级数具有和数。14世纪，N.奥尔斯姆证明了调和级数发散到+∞。但是直到接近于微积分发明的年代，我们才能脱离几何表示而达到级数和的纯算术概念，进一步把级数视为独立的算术运算并正式使用收敛与发散两词。级数收敛概念的逐渐明确有力地帮助了微积分基本概念的形成。

2.级数的发展及理论形成

微积分在创立的初期就为级数理论的开展提供了基本的素材。……