许年堤

排列组合问题解题方法独特，结果不易验证，思维比较抽象灵活，在解题过程中，学生往往缺乏自信心，因此在课堂教学中如果我们能把一些常见的排列、组合问题归纳、类比到一组单一的学生能掌握且比较熟悉的模型上，无疑对解题是有益的。在此笔者谈谈把球放入盒子问题的几种模型。

1 、把5个不同的小球放入5个不同的盒子（不限制盒子放球数，每盒最多可放5个）有几种不同的放法？

分析：5个小球分5次放（5步），每一个小球有5种放法。

解：有分步计数原理得

评述：本题是利用分步原理求解，模型为n个不同的球放入m个不同的盒子中（每盒可以放n个）有mn

2、把5个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？

分析：本题就是5个不同的元素按一定顺序排列的排列个数，是一个典型全排列问题。

解：

3、把3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？

解： 或

评述：本题是球少盒子多（元素少，位置多），可以理解为从5个不同盒子中先取出3个盒子然后将3个小球一对一的放入每个盒子即为全排列

模型：把m个不同的元素放入n个不同的对象（ ）（每一个对象只能放一个元素）其排列数为 ，其实就是对排列概念的真正理解。

4、把7个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有几种不同的放法？

分析：先把7个小球分成5组，再把5组（5个元素）进行全排列，分组有两类：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各组的组数分别为 ， 因此：N=

评述：本题是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每个盒子至少放一个球，因此要先分组（把这些元素分成与位置一样的组）后排列；……