李建源

自从学习了导数知识内容以后，我们在解决求切线方程式、求函数单调性、极值、最值及不等式证明等数学问题时更加简捷、方便。导数的广泛应用带来了新思路、新方法。不等式题型是中学数学中一种最常见的题型，同学们通过解答此类题型可以掌握数学的一些基本知识，还可以锻炼自己各方面的解题能力，如自学能力、综合分析能力、逻辑思维能力等，解决好这类题型能够使自己在“实”“强”“技巧”等方面得到加强。在解决不等式问题时，巧妙地运用导数证明不等式是一种行之有效的好方法，它能使不等式的证明化难为易、迎刃而解。本文通过一典型例题的三种不同解法，从构建新函数入手，利用函数单调性、函数的最值等阐述导数在不等式证明中的应用。

典型例题：已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx，证明：f（x）-g（x）>2

方法一：

解题思路：通过两函数作差构造一个新函数，研究该函数的单调性，找出其最值。如本题证明f（x）-g（x）>2，只要构造一个函数t（x）=f（x）-g（x），只需要证明函数t（x）的最小值为2即可。

解：令函数t（x）=f（x）-g（x）=ex-lnx，定义域为（0，+∞）。

t′（x）=ex-，

令t′（x）=0时的点为x0，即：t′（x0）=e-=0，

此时，e=

∵f（x）=ex与f（x）=-均为增函数

∴t′（x）=ex-为增函数。

则x>x0，时，t′（x）>0，函数t（x）为增函数，

x

则t（x）在x=x0处存在最小值t（x0）=f（x0）-g（x0）=e-lnx0

∵e=，x0=e，lnx0=-x0

∴e-lnx0=+x0>2 （∵x0≠1）

所以，t（x）=f（x）-g（x）>2

方法二：

解题思路：在某些情况下，当构建一个函数模型解题困难时，可考虑同时构建两个函数模型，来研究这两个函数最值。如本题证明f（x）-g（x）>2，构造函数m（x）=ex-x，n（x）=lnx-x，只需要证明m（x）的最小值与n（x）的最大值之差大于2即可。

解：设m（x）=ex-x，n（x）=lnx-x 定义域为（0，+∞）。

∵m′（x）=ex-1，又x>0

∴m′（x）>0，函数m（x）为增函数，

∴m（x）>e0-0=1

又∵n′（x）=-1，当x=1时，n′（x）=0

x<1时，n′（x）>0，函数n（x）为增函数，

x>1时，n′（x）<0，函数n（x）为减函数，

∴函数n（x）在x=1处存在最大值n（1）=ln1-1=-1

∴m（x）-n（x）>1-（-1）=2

∴ex-lnx>2

所以，f（x）-g（x）>2

方法三：

解题思路：构造两个函数，研究这两个函数最值，如本题证明f（x）-g（x）>2，構造函数m（x）=，n（x）=+，只需要证明m（x）的最小值大于n（x）的最大值即可。

解：令m（x）=，n（x）=+ 定义域为（0，+∞）。

m′（x）=-=（x-1），x=1时，m′（x）=0

x>1时，m′（x）>0，函数m（x）为增函数，

x<1时，m′（x）<0，函数m（x）为减函数，

∴函数m（x）在x=1时有最小值m（1）=e

n′（x）=-+-=--=-（lnx+1）

当x=e-1时，n′（x）=0，

x>e-1时，n′（x）<0，函数n（x）为减函数，

x0，函数n（x）为增函数，

∴函数n（x）在x=e-1时有最大值n（e-1）=2e-e=e

因为，m（x）与n（x）函数图像不相交，

所以，m（x）>n（x）

∴>+

即，ex-lnx>2，f（x）-g（x）>2

比较以上三种方法可以看出，为了求导的方便，针对每种解题方法，函数的构建非常重要，通过合理构建函数，将不等式问题转化为函数问题，从而拓宽解题思路、降低问题难度。