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挖掘课本内涵,灵活运用导数解题

2014-12-03刘善翔

中学生数理化·教与学 2014年12期
关键词:增函数灵活运用最值

刘善翔

一、灵活运用指数、对数的性质解题

例1求y=ln(4x-8)4的导数.

错误解法:原函数可化为y=4ln(4x-8).

令y=4lnu,u=4x-8.

则y′=4u,u′=4.

∴y′=4u·4=164x-8.

正确解法:令y=lnu,u=v4,v=4x-8.

∴y′=1u,u′=4v3,v′=4.

∴y′=1u·4v3·4=1v4·4v3·4=16v=164x-8.

点评:在错误解法中,将原函数变形为y=4ln(4x-8)时缩小了自变量x的取值范围,即由 x≠2变成了x>2.一般地,y=ln[f(x)]n求导时,n为奇数时可先化为y=nln[f(x)],再求导;n为偶数时一般不能化为y=nln[f(x)].若f(x)为恒正函数,也可先化简,再求导.

例2求y=xx的导数.

错误解法1:y′=x·xx-1=xx.

错误解法2:y′=xx·lnx.

正确解法:y=(elnx)x=exlnx,

∴y′=(exlnx)′=exlnx(xlnx)=exlnx(lnx+1)=xx+xxlnx.

点评:y=xx既不是y=ax形式也不是y=xn形式,不能套用这两个函数的求导公式,应利用指数的性质alogNa=N将它化为复合函数形式,再求导.

二、灵活运用导数求函数的单调性

课本只讨论了开区间上函数的单调性,这给我们解题带来很大的局限性,其实,若利用闭区间上的单调性,将更加方便.为此,先引入以下结论:

定理1:若x0∈(a,b)时,f′(x0) > 0(<0),且f′(b)≥0(≤0),则f(x)在(a,b]上是增函数(减函数).

类似地,可得到 f(x)在[a,b)或[a,b]上为增函数或减函数的条件.

定理1可结合函数的单调性的定义进行说明.

定理2:若 f(x)在(a,b]及[b,c)上都是增函数(减函数),则f(x)在(a,c)上也是增函数(减函数).

先证f(x)在(a,c)上也是增函数的情形,同理可证f(x)在(a,c)上是减函数的情形.

证明:设x1、x2是(a,c)上的任意两个数,则

当x1、x2均为(a,b]或[b,c)上的数时,显然f(x1)

当x∈(a,b),x2∈(b,c)时,有f(x1)

∴f(x1)

即对任意x1、x2∈(a,c),都有f(x1)

例3求y=x3的单调区间.

解:y′=3x2,令y′=0,则x=0.

∴ y=x3在(-∞,0]及[0,+∞)上是增函数.

∴ y=x3在(-∞,+∞)上是增函数.

定理3:若 f(x)在(a,b)内可导,且∈(a,b)时 f′(x0)≥0(≤0),且满足f′(x0)=0的点为一些不连续点,则y=f(x)在(a,b)上是增函数(减函数).

可结合函数的单调性的定义及定理1、定理2进行证明,此处从略.

例4求证:y=x-sinx在(-∞,+∞)上是增函数.

证明:y′=1-cosx≥0,令y′=0,则x=2kπ(k∈Z).

∵(2kπ,2kπ)为一些不连续点,

∴y=x-sinx在(-∞,+∞)上是增函数.

三、灵活运用导数求函数的最大(小)值

连续函数y=f(x)在[a,b]上有意义,则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值,且最值在区间端点、不可导点或导数为0的点上取得.若y=f(x)在(a,b)上可导,则求f(x)的最值只须比较端点及导数为0的各点的函数值的大小即可,可不必判断各点是否为极值点,这种方法对中差生更为有利,可减少计算量.若y=f(x)在(-∞,+∞)可导,则求f(x)在(-∞,+∞)的最值,还应与x=±∞处的极限进行比较.

例5求y=f(x)=(x+1)2(x-1)3在[-2,2]上的最值.

解:y′=2(x+1)(x-1)3+3(x-1)2=(x+1)(x-1)2(5x+1)

令y′=0则x1=-1,x2=1,x3=-15.

∴f(-2)=-27,f(-1)=f(1)=0,f(-15)=-34563125,f(2)=9.

∴y = f(x)在x=-2时ymin=-27,x=2时ymax=9.

总之,导数常出现在函数中的单调性、最值、不等式证明以及与解析几何相联系的综合性问题上.因此,在教学中,要注重概念的理解和运用,注重常规题型的训练和常规方法的总结,充分利用导数解题,突出导数的应用.

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