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一类特殊的微分方程求解方法研究

2017-01-17赵伟舟

数学学习与研究 2016年17期
关键词:微分方程

赵伟舟

【摘要】微分方程在实际生活中具有广泛应用,研究微分方程的求解具有重要意义.本文针对由齐次方程衍生的一类特殊微分方程,借助变量代换和分离变量讨论了具体的求解方法.

【关键词】微分方程;齐次方程;变量代换;分离变量

1.问题的提出

称形如dydx=f(yx)的微分方程为齐次方程.对方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,当c1=c2=0时,即为齐次方程;当a1b1a2b2≠0时,可通过线性变换将其转化为齐次方程进行求解.对于a1b1a2b2=0或c1,c2不定的情况,该微分方程又如何求解呢?

2.问题的求解

对于方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,随着常数取值的不同,可以把其转化为其他类型的微分方程进行求解,下面根据二阶行列式为零的几种特殊情况分别进行讨论:

(1)当a1=b1=0,c1≠0时,

dydx=c1a2x+b2y+c2.(*1)

令u=a2x+b2y+c2,得:dudx=a2+b2dydx.

将(*1)代入上式,得:dudx-a2=b2c1u.

这是典型的可分离变量的微分方程,不妨设解为φ(u,x,C)=0(C为任意常数,下同),从而原微分方程的解为φ(a2x+b2y+c2,x,C)=0.

(2)当a2=b2=0,c2≠0时,方程可整理为:

dydx=a1x+b1y+c1c2=b1c2y+a1x+c1c2,

即dydx-b1c2y=a1x+c1c2.

这是一阶线性微分方程,直接可借助求解公式,

y=e-∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C),

其中P(x)=-b1c2,Q(x)=a1x+c1c2.

(3)当a1a2=b1b2=c1c2时,

不妨设比值为k,则可将原微分方程化为:

dydx=ka2x+kb2y+kc2a2x+b2y+c2=k.(*2)

显然,此时微分方程的解为y=kx+C.

(4)当a1a2=b1b2≠c1c2时,

仍令a1a2=b1b2=k,代入原微分方程,得:

dydx=ka2x+kb2y+c1a2x+b2y+c2=k+c1-kc2a2x+b2y+c2(*3)

令u=a2x+b2y+c2,则:dudx=a2+b2dydx.

代入微分方程(*3)并整理,得

u(a2+kb2)u+b2(c1-kc2)du=dx.

两边积分可得:

1a2+kb2{a2x+b2y+c2-(c1-kc2)b2a2+kb2ln[(a2+kb2)(a2x+b2y+c2)+(c1-kc2)b2]}=x+C.

3.问题的扩展

考察方程dydx=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2),右边尽管是a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的表达式,但变量代换令u=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,整理后得到:

a2ux+b2uy+c2u=a1x+b1y+c1.

两边关于x求导,得

a2dudxx+a2u+b2dudxy+b2udydx+c2dudx=a1+b1dydx.

显然,这样的代换只能使得方程求解更为复杂.因此对这类形式的微分方程,一般通过考察a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的具体形式选择具体的求解方法.例如当a1b1a2b2≠0时,可通过线性变换x=X+h,y=Y+k将微分方程转化为

dYdX=fA1X+B1YA2X+B2Y.

这是典型的齐次方程,该方程的求解可以按照前面方法进行.而当a1b1a2b2=0的讨论要复杂一些,需要对内部进行整理并寻求合适的变量代换.限于篇幅,这里不再赘述.

4.结 论

微分方程的求解对研究实际问题具有重要意义,这里针对由齐次方程衍生的一类特殊方程,通过考虑参数的不同取值,基于传统的变量代换和分离变量以及现有微分方程理论,研究了不同条件下的具体求解方法.从求解过程可以看出,微分方程的求解方法完全依赖于方程的具体形式,对形式复杂的微分方程只有通过分析局部特点,简化方程形式,类比基本模型,才能获得原方程的解.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].第7版.北京:高等教育出版社,2014.

[2]张棣.常微分方程[M].西安:西北大学出版社,1992.

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