湖南省岳阳市第十五中学326班 李博亚

巧用奇函数的性质解数学题

湖南省岳阳市第十五中学326班 李博亚

函数是高中数学中的一个重要内容，也是难点之一。主要体现在函数思想的运用，而掌握函数的一个重要手段就是分析函数的性质。从函数的性质入手来求解数学问题，也是解决函数问题的非常适用的工具。而我们在解决函数问题时往往容易忽视的地方主要体现在：一是忽视从函数的本质特性入手，如定义域、对应法则、函数的单调性、奇偶性等。二是容易忽视分析题设所给式子的结构特征。因此，我们可以从奇函数的定义出发，证明出奇函数的性质，函数的性质是函数的灵魂。在解答一些类似很抽象的问题时，我们先从函数的性质入手，认识这个函数的本质特征，巧用其性质来解答，可以达到事半功倍的作用。

一、奇函数的定义及性质

在我们的教材中奇函数是这样定义的：设函数y=f（x）的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有x∈D,且-f(x)=f(-x),则这个函数叫做奇函数。其中的关键词有“D内的任意一个x”、“都有”“-f(x)=f(-x)”。用数形结合的思想来理解奇函数的定义就是：奇函数的定义域关于原点对称，其图形关于原点成中心对称图形。从这个定义出发，我们很容易证明奇函数具有如下四个性质：

性质1 对定义在区间D上是单调递增奇函数f（x），如果a,b∈D，

性质2 已知定义在区间D上的单调递减奇函数f（x），如果a,b∈D，

性质3 已知在区间D上的单调奇函数f（x），如果a,b∈D，

性质4 如果奇函数f（x）是定义在D上的奇函数，且有最大值M，那么f（x）的最小值为-M，反之亦然。……