☉宁夏回族自治区中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校　张　宁

对一道与正方形有关的竞赛试题的变式探究

☉宁夏回族自治区中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校张宁

一、试题及解答

试题（2015年福建省初中数学竞赛试题）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，则△CEF的周长为_____.

图1

图2

解析：如图2，将△ABE绕点A沿逆时针方向旋转90°，得到△ADG，则△ABE≌△ADG，所以AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG.因为∠EAF=45°，所以∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°=∠EAF.在△EAF和△GAF中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF.所以△EAF≌△GAF，所以EF=GF.所以△CEF的周长为CE+CF+EF=1-BE+CF+GF=1-DG+CF+DG+DF=1+CF+ DF=1+1=2.

点评：本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、图形的旋转变换等知识，将△ABE绕点A沿逆时针方向旋转90°，构造△GAF，由此得出△EAF≌△GAF，从而证明EF=GF，这是解题的关键.通过证明可知，只要点F不与点D或点C重合，点E不与点B或点C重合，不论点E、F分别在边BC、CD上何处，只要保持∠EAF= 45°，即可得到△CEF，而且它的周长是一个定值，即△CEF的周长是正方形边长的两倍.本题中，点E、F是定角∠EAF=45°控制下的动点，△AEF与△CEF均是动态三角形，所以本题可以看作是动态几何中的定值问题.

二、变式探究

变式1：如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且△CEF的周长为2，求∠EAF的大小.

解析：如图2，将△ABE绕点A沿逆时针方向旋转90°，得到△ADG，则△ABE≌△ADG，所以AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG.由已知△CEF的周长为2，即CE+CF+EF= 2.因为CE=1-BE，CF=1-DF，所以1-BE+1-DF+EF=2，即EF=BE+DF=DG+DF=GF.在△EAF和△GAF中，AE=AG，EF=∠GF，AF=AF，所以△EAF≌△GAF，所以∠EAF=∠GAF.因为∠BAE=∠DAG，所以∠EAF=∠BAE+∠DAF.所以∠EAF+∠BAE+∠DAF=90°，所以∠EAF= 45°.

点评：由证明可知，只要点F不与点D或点C重合，点E不与点B或点C重合，不论点E、F分别在边BC、CD上何处，只要保持△CEF的周长是2，即△CEF的周长是正方形边长的两倍，则∠EAF=45°.显然，变式1是试题的逆命题.

变式2：如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，当∠EAF=45°时，△AEF的面积是不是定值？如果不是，它有最大值还是最小值？……