谢渊明

(甘肃省定西市岷县第一中学，748400)



含参不等式恒成立问题的求解策略

谢渊明

(甘肃省定西市岷县第一中学，748400)

含参不等式的恒成立问题是高考中的热点内容,它以各种形式出现在高中数学中的各部分内容中,扮演着重要角色.解决含参不等式恒成立问题的关键在于转化与化归思想的运用.从解题策略的角度看,一般而言,针对不等式的表现形式,有如下策略,供大家参考.

一、变换主元,转化为一次函数问题

处理变元较多不易消元的数学问题,可以选其中某个变元作为主元,而将其它变元看作常量,从而达到减元并简化解题过程的目的.

例1已知a∈[-1,1],不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为()

(A)(-∞,2)∪(3,+∞)

(B)(-∞,1)∪(2,+∞)

(C)(-∞,1)∪(3,+∞)

(D)(1,3)

解把原不等式左端看成关于a的一次函数,并记

f(a)=(x-2)a+x2-4x+4，

则f(a)>0对任意|a|≤1恒成立.易知只需

解得x<1或x>3,故选C.

例2已知对一切x∈R,不等式

恒成立,试确定a、b应满足的条件.

解因为x2-x+1>0恒成立,所以原不等式可化为(a-b)(x2-x+1)+(x+2)2>0,以a-b为主元.因为x2-x+1>0,(x+2)2≥0,且原不等式对于一切x∈R恒成立,所以a-b>0,即a>b为a、b应满足的条件.

评注在含参不等式成立的问题中,参数和未知数是相互制约、相互依赖的关系.若能转换两者在问题中的地位,则关于x的不等式就立即转化为关于参数的不等式,给人“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村”之感.

二、联系不等式、函数、方程,转化为方程根的分布问题

例3已知x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则m的取值范围是()

即m2-4m-4<0，

评注本题利用换元法简化了运算,但需要注意换元后自变量的取值范围.

三、构造函数求最值

解决这类问题常用两种方针……