王志刚

(江苏省丰县民族中学，221700)



浅谈函数零点个数问题的解题策略

王志刚

(江苏省丰县民族中学，221700)

函数零点个数问题是高中数学中的常见问题，在各类考试中经常出现.这类问题的解决不仅涉及到基本的数学知识,还涉及到基本数学思想方法,比如化归思想,数形结合,整体代换等等.笔者根据多年的教学实践,结合着各类习题谈一下解决相关问题的常用策略.

策略1利用函数零点存在性定理

若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，这就是函数零点的存在性定理.若条件中再添加“函数在区间[a,b]上是单调的”,则结论变为函数y=f(x)在区间(a,b)上有且只有一个零点.

例1函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内零点的个数是______.

解因为f(x)=2x+x3-2在(0,1)上单调递增，又因为f(0)=-1<0,f(1)=1>0，故f(0)f(1)<0.

所以f(x)在(0,1)内仅有一个零点.

策略2采用数形结合法.

作出函数的图象,函数图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.若不能作出函数F(x)=f(x)-g(x)的图象,可以将F(x)的零点问题转化为y=f(x)与y=g(x)的图象的公共点个数问题.

例2(2015年江苏高考题)已知函数

f(x)=|lnx|,

则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为______.

分析由|f(x)+g(x)|=1，可得

g(x)=-f(x)±1.

分别作出函数的图象,即可得结论.

解由|f(x)+g(x)|=1，可得

g(x)=-f(x)±1.

g(x)与h(x)=-f(x)+1的图象如图1所示,显然两图象有两个交点;

g(x)与k(x)=-f(x)-1的图象如图2所示,两函数图象也有两个交点.

综上所述,原方程的实根个数为4.

策略3运用函数的奇偶性

奇偶函数的图象具有对称性,其零点是成对出现的.在求奇偶函数在对称区间上零点的个数时,可以先研究其在x正半轴定义域内的零点个数再借助于奇偶性得出零点个数的总数.

例4若y=f(x)是定义在R上周期为2的周期函数且为偶函数.当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则函数g(x)=f(x)-log5|x|的零点个数为______.

分析函数g(x)=f(x)-log5|x|的零点个……