函数的单调性教学设计与意图分析

2016-11-01武瑞雪

中学数学杂志(高中版) 2016年5期

武瑞雪

【摘要】有效的教学离不开优秀的课前教学设计，既要有明确的教学目标，又要有对教学重点、难点的准确把握，还要能对课堂教学活动的每一个环节进行预设，并注重让学生体验数学知识的发生发展的过程.

【关键词】函数单调性；教学设计；意图分析

1 教材内容分析

“函数的单调性”是学生进入高中阶段后接触的第一个用数学“符号语言”刻画的“数学概念”（或说“函数的性质”），对学生来说具有一定的难度和挑战性，是研究和学习后续很多知识（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、导数等）的基础，在比较大小、求最值和极值、解不等式、研究数列性质、函数零点的判定等问题上都有重要的应用，同时，对“函数的单调性”的研究过程及方法，可迁移到对函数的其他性质的研究上，对后续知识的学习有奠基意义.

2 教学目标定位

理解单调函数、单调区间的概念，能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性；通过对函数单调性的学习，让学生体会数形结合的思想；培养学生养成由特殊到一般，再由一般到特殊来研究问题的思维习惯[1].

3 教学重点难点

教学重点：函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.

教学难点：函数单调性概念的生成，特别是用数学“符号语言”描述函数的单调性；某些函数单调区间的正确表示；单调性的证明.

4 教学设计与意图分析

所用教材为现行苏教版[2]，课前布置学生在“导学案”引导下阅读教材，本节课是函数的单调性的第一课时，所涉及的题目在导学案和课件上均有，利于学生预习，节省学生抄题、教师板书的时间，给学生更多的时间思考和探究，实现有效教学.

4.1问题情境

问题情境1如图1为某市某一天24小时的气温变化图，气温y是关于时间x的函数，记为y=f（x），x∈[0，24]，观察这个气温变化图，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的？怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？

意图分析以来源于生活的气温曲线图创设问题情境，利于激发学生求知欲，调动学生主动参与的积极性，感受函数的单调性概念产生的必要性和价值，培养学生识图能力与“形”“数”转换的能力，利于引领后续的教学.

问题情境2画出下列3个函数的图象，你能用数学中的“符号语言”刻画这3个函数的函数值随自变量的变化特征吗？

（1）f（x）=2x；（2）f（x）=1x；

（3）f（x）=x2+2x+1.

意图分析（1）从学生熟悉的3个函数切入，通过画图观察，让学生感受到函数图象的变化趋势：随着x值的增大，有的呈上升的趋势；有的呈下降的趋势；有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势. 渗透分类讨论和数形结合思想.

（2）通过观察图2，先让学生从“图形语言”上直观认识到函数的单调性，并用“图形符号”表示为“上升：x，y=f（x）；下降：x，y=f（x）”；再用描述性的“文字语言”分别对应表述为“y随x的增大而增大；y随x的增大而减小”；最后用数学“符号语言”分别对应表述为“当x1f（x2）”，这个过程引导学生的思维从“直观感觉”走向“数理逻辑”.

（3）将“y随x的增大而增大”翻译成“当x1

4.2建构数学

4.2.1单调增函数、单调减函数

设函数y=f（x）的定义域为A，区间IA.

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1f（x2），那么就说y=f（x）在区间I上是单调减函数，I称为y=f（x）的单调减区间.

意图分析（1）前一定义由教师引导学生概括，后一定义放手让学生独自概括，让学生在类比模仿之中加强对数学概念的认知、内化，既培养学生的创造能力，又培养学生用数学中的“符号语言”刻画数学概念的能力[3].同时，让学生体会数学概念是如何扩充完善的.

（2）当学生表述不到位、语言不准确、理解存在偏差时，教师要耐心地引导学生补充、修正，最后达成严谨、准确、简洁的表述.如学生表述时，可能会漏掉“在某区间上”，借此教师要向学生强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的“局部性质”.让学生阅读教材，规范表述，找出概念中的关键词“在某区间上”、“任意”、“都有”.

4.2.2单调性、单调区间

若函数y=f（x）在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

4.3数学运用

例1请根据图2，写出函数f（x）=2x，f（x）=1x，f（x）=x2+2x+1的单调区间.

例2如图3是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f（x）是增函数还是减函数.

意图分析（1）通过例1、例2，让学生能用“图象法”判断函数单调性，并明确“函数单调性”与“函数单调区间”的区别.

（2）通过独立思考，小组讨论，自主纠错，最终让学生明白函数f（x）=1x（x≠0）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但是在定义域上不具有单调性，并提醒学生注意函数f（x）=1x（x≠0）的减区间不能写为：①（-∞，0）∪（0，+∞），

②（-∞，0）或（0，+∞），而应写为：①（-∞，0），（0，+∞），②（-∞，0）和（0，+∞），③（-∞，0）及（0，+∞）.一般地，单调区间是不能取并集的.

思考你能画出函数f（x）=x+1x，x∈（1，+∞）的图象吗？你能用“图象法”判断函数f（x）=x+1x在区间（1，+∞）上的单调性吗？

意图分析对高一新生而言，很难画出此函数的图象，那么对于“图象不明”的函数，用“图象法”判断其单调性已不可能，让学生体会到用“定义法”证明的必要性，自然过渡到例3.

例3证明函数f（x）=x+1x在（1，+∞）上是增函数.

证明设x1，x2为区间（1，+∞）上任意两个值，且x1

f（x1）-f（x2）=x1+1x1-x2+1x2=（x1-x2）+x2-x1x1x2=（x1-x2）·x1x2-1x1x2，

由1

x1x2-1>0，x1x2>0，

于是f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

所以，f（x）=x+1x在（1，+∞）上是增函数.

意图分析（1）此题是教材上例2的变式题，因大部分学生还是可以画出例2中函数f（x）=-1x-1，x∈（-∞，0）的图象的，为了更好地说明引入“定义法”的必要性，故将教材上例2换为上述的例3，忠于教材又不囿于教材.教师引导学生对照单调增函数的定义，指出函数单调性证明的要点，作差比较大小是常用方法，它的基本步骤是：取值→作差→变形→定号→下结论（其中作差是依据，变形是手段，定号并下结论是目的），培养学生严谨的数学推理能力，增强思维的条理性.

（2）通过这3道例题，让学生分别从“形”和“数”两个方面理解单调性，同时让学生明白“判断函数单调性”与“证明函数单调性”的差别.

思考函数f（x）在定义域内的某区间I上单调递增，那么对区间I上的任意两个值x1，x2，f（x1）-f（x2）x1-x2的符号有什么变化规律？反之，若在区间I上的任意两个值x1，x2，都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0，则函数f（x）在I上单调性如何？

意图分析通过此道思考题，让学生明白“对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x10”是等价的，它们都能表明函数f（x）在I上为单调增函数.

4.4学生活动

练习关于函数的单调性有以下一些说法：

（1）区间（a，b）上，取两数x1，x2，且x1

（2）若函数y=f（x）在区间I上是单调增函数，x1，x2∈I，f（x1）

（3）若定义在R上的函数f（x）满足f（2）>f（1），则函数f（x）是R上的单调增函数.

（4）函数 y =f （x）的定义域为[0，+∞），若对于任意的x2>0，都有f（x2）

（5）若函数f（x）是R上的单调增函数，则必有f（2）>f（1）.

（6）若定义在R上的函数f（x）满足f（2）>f（1），则函数f（x）在R上不是单调减函数.

（7）若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调增（减）函数，只需在该区间上，找到两个值x1，x2，且x1