徐辉明

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华321004)



结合律在数项级数中的巧用

徐辉明

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华321004)

讨论结合律在无穷级数中的运用，并对2015年浙江省高等数学竞赛中一道竞赛题进行了分析和探讨.

级数； 收敛； 结合律

1　引　　言

众所周知，有限个实(复)数的加法运算满足交换律和结合律，但在无穷级数中，交换律和结合律一般不成立，要在数项级数中运用交换律和结合律，需要满足一定的条件. 在数学分析教材中，下面两个定理是常见的.

定理1[1]在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变级数的和.

定理2[1]若级数∑un绝对收敛，且其和为S，则对该级数的项任意重排后所得的级数也收敛于S.

由此可见，收敛级数的项之间适用结合律，绝对收敛级数的项之间满足交换律.

在研究无穷级数的某些问题时，若能巧用结合律对级数的项进行分组，将有助于问题的解决. 本文中，我们将通过实例展示结合律在研究级数收敛性问题中的运用，并对2015年浙江省高等数学竞赛中一道竞赛题进行分析和探讨.

2　运用结合律研究级数的敛散性

由定理1可知，若级数收敛，则可适用结合律，下面的例子说明一般情形下结合律并不成立.

(-1+1)+(-1+1)+…+(-1+1)+…，

所得到的级数收敛.

上述例子表明，发散级数通过适当的方式加括号后有可能收敛. 但对于正项级数，这样的情形就不会发生.

命题1在正项级数的项中任意加括号，不改变……