冯爱芳,　刘祖华,,　郭聿琦

(1.昆明学院数学系，昆明650214;　2.兰州大学数学与统计学院，兰州730000)



正定矩阵合同对角化的一个简洁方法及其应用

冯爱芳1,刘祖华1,2,郭聿琦2

(1.昆明学院数学系，昆明650214;2.兰州大学数学与统计学院，兰州730000)

利用正定矩阵的性质, 给出一个“求可逆矩阵P， 将正定矩阵A合同对角化”的简洁方法，给出该方法在化正定二次型为标准形和求标准正交基底中的应用.

正定矩阵; 合同对角化; 正定二次型; 标准正交基底

高等代数是本科数学类专业的必修课, 对学生完成其他专业课程的学习具有基础性的作用. 因此, 对该课程中某些重要内容作些深入的研究是非常必要的[1-3]. 正定矩阵是一类重要的矩阵, 在“高等代数”中占有重要地位, 其理论有着丰富的内容, 正定二次型以及欧氏空间的相关内容都与之有关. 本文关于正定矩阵的合同对角化问题作进一步研究.

首先, 我们给出一些基本概念和事实.

1　基本概念和事实

定义1[4]令F为一数域, A,B∈Fn×n. 称A与B合同, 如果存在F上可逆矩阵P, 使得

B=P′AP.

若矩阵A与一个对角阵合同, 则称A可合同对角化.

定义2[4]令A∈Rn×n. 称A为正定矩阵, 如果存在实可逆矩阵Q , 使得

A=Q′Q.

显然, 正定矩阵是对称的, 且与单位矩阵合同. 因此, 正定矩阵可合同对角化.

关于实对称矩阵的正定性, 有以下基本事实:

定理3[4]令A∈Rn×n, A′=A. 则以下几条等价:

(i) A是正定的;

(ii) 存在实可逆矩阵P, 使得P′AP=Ddi,n, 其中Ddi,n为对角线元素为d1,d2,…,dn的对角阵,di>0,i=1,2,…,n;

(iii) A的所有顺序主子式均大于零;

(iv) 实n元二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX为正定二次型(即关于任意一组……