李尧其

(上海师范大学数理学院,上海200234)



拉马努金等式的证明及推广

李尧其

(上海师范大学数理学院,上海200234)

对于拉马努金等式，本文首先应用数列极限的方法给出其收敛性的证明.再结合式中多重根号嵌套的结构，通过构造函数方程，给出一个推广的结果.并将这种方法推广到一般形式，最后得到了此类极限的收敛性的一般判别法.文中使用的方法，为无穷根号形式的极限问题提供了系统化思路，丰富了极限的表达形式.

拉马努金等式； 极限； 收敛性； 函数方程

1　引　　言

拉马努金(Ramanujan，1887-1920)是印度历史上极其伟大的数学家.他自学成才，尤其痴迷数论，思维极有跳跃性.拉马努金1887年生于印度东部的埃德罗，10岁进入中学，接触了正式的数学教育，并很快展现出很高的数学天赋.1913年，拉马努金给剑桥大学三一学院的哈代(G.H.Hardy，1840-1928)写信，报告自己的数学研究成果，他的数学天才由此受到学术界重视.拉马努金一生贫困，33岁便英年早逝，死后留下5个笔记本.时至今日，藏在这些笔记本中的数学思想与方法依然在被不断挖掘出来，并且应用到很多前沿领域.以下便是拉马努金发现的众多令人匪夷所思的等式中的一个

上式出自拉马努金数学笔记的第289题，称作拉马努金等式.拉马努金常凭直觉进行推导，笔者未见到拉马努金本人对这个等式的严格证明.本文分析了拉马努金等式的结构，分别应用数列极限、函数方程、函数列得到几种不同的证明方法以及……