黄永忠，　刘继成

(华中科技大学数学与统计学院，武汉430074)



多元向量函数的中值定理及应用

黄永忠，刘继成

(华中科技大学数学与统计学院，武汉430074)

中值定理是可微函数的重要性质，是证明某些等式和不等式的重要工具，而等式形式的向量函数的微分中值定理一般是不成立的，通常只能得到微分中值不等式.本文从一元函数的Newton-Leibniz公式出发，证明了一个多元向量函数等式形式的积分型中值定理.该定理揭示了多元向量函数等式形式的微分中值定理不成立的原因，也蕴含了微分中值不等式.

多元向量函数； 积分型中值定理； 微分中值不等式

1　问题的提出

通用的数学分析教材在涉及多元向量函数时，只给出了微分中值不等式，例如文献[1]下册P 333定理23.14和文献[2]下册P 104定理16.2.3.特别地，文献[2]下册P 105说明了对于取值维数n≥2的向量函数只能得到微分中值不等式，而不能如数量函数那样得到等式形式的微分中值定理，并且给出下面的反例.

例1考虑定义在R2上的二维向量函数

Φ(x,y)=(excosy,exsiny)T,∀(x,y)T∈R2,

其中T表示转置.显然，Φ在整个R2上可微，且

记两点P=(0,0)T和Q=(0,2π)T，易见

Φ(Q)-Φ(P)=(0,0)T，

Φ(Q)-Φ(P)=DΦ(M)(Q-P).

关于多元向量函数的中值定理除教材[1]中形式(即本文后面的定理6和推论7)外，文献[3]得到相应的Rolle中值定理，文献[4]-[5]研究了一元向量函数的中值定理.文献[4]，对区间[a,b]上的可微函数r:[a,b]→Rn，得到一定条件下存在ξ∈(a,b)使得r′(ξ)//r(b)-r(a)的结论, 此时n=2. 文献[5]得到：存在ξ∈(a,b)使得

r′(ξ)=λ[r(b)-r(a)]，n=2，

其中λ=|r′(ξ)|/|r(b)-r(a)|；

λ1r(a)+λ2r(b)+λ3r′(ξ)=0，n=3，

其中λ1,λ2,λ3为不全为零的常数.

对n>3，得到n=3时的类似形式(高阶导数型).本论文研究思路与现有文献都不相……