李　静

(解放军理工大学理学院，南京211101)



美国Putnam数学竞赛中两道行列式证明题的泰勒公式解法

李静

(解放军理工大学理学院，南京211101)

介绍了美国Putnam数学竞赛中两道行列式证明题的分析证明方法.选取行列式中的某个参数(常数)为变量，使得行列式可设为该变量的多项式，然后分别计算函数值和各阶导数值，进而利用泰勒展式即可计算出行列式的值.

泰勒公式； 行列式； 变量与常数

1　引　　言

泰勒公式是微积分学的重要内容[1]，其作用是将一般的可导函数展开为多项式或者表示为幂级数，将复杂的函数值计算转化为简单的多项式计算，因而在近似计算、工程技术中有着广泛的应用[2-3].特别地，当一个多项式以其他形式出现时，利用泰勒公式就可以将该多项式进行化简，从而便于理解，在有些情况下也更易于计算.

本文考察美国Putnam数学竞赛中两道关于行列式的证明题[4]，其基本思路是利用初等变换及行列式的性质将行列式化为易于计算的形式.注意到，这两道试题中的行列式都含有多个参数(字母记号)，可将其视为以其中某个参数(字母记号)为变量的多项式，因此，利用泰勒公式有可能简化行列式的计算.

2　预备知识及两道竞赛题的解法

首先介绍行列式的求导法则.今有n阶行列式D=∑(-1)tap11ap22…apnn,其中各元素aij是某个变量的可导函数，则行列式的一阶导数应为

D′=∑(-1)t(a′p11ap22…apnn+ap11a′p22…apnn+…+ap11ap22…a′pnn)

=∑(-1)ta′p11ap22…apnn+∑(-1)tap11a′p22…apnn+…+∑(-1)tap11ap22…a′pnn.

表示成行列式形式如下

(1)

行列式的求导法则就是先对行列式逐列求导其它列不变然后再对……