丁锦荣

[摘 要] 数学应用是初中数学教学的重要内容，但在教学实践中容易忽视. 建立数学应用的视角，并将其贯穿到数学知识建构与整个数学学习的过程中去，可以有效地引导学生形成应用意识，生成应用能力. 开发微型实践活动，也可以促进应用意识的形成.

[关键词] 初中数学；应用意识；应用意识培养

《义务教育数学课程标准》（2011版）明确提出了数学应用的概念，在当前的数学教学中也确实有着明显的数学应用的痕迹存在，但是对于一个更为根本的问题，却有意无意地给予了忽视，那就是学生应用意识的培养问题. 这个问题被忽视也是情有可原的：一方面，由于存在较大的应试压力，数学学科又是应试压力较为明显的学科，在实际教学中更多的精力花在提高学生的解题能力上，因此对于真正的数学应用难以顾及，这种教师自身数学应用教学意识的薄弱，导致学生数学应用意识难以得到真正的培养；另一方面，数学意识本身就属于“意识范畴”，而意识原本就是隐性的，这种隐性的因素对于学生显性的解题能力的培养往往没有明确的作用，因而也确实不容易引起教师和学生的注意. 这种对数学应用意识的淡化，使得数学应用其实难以真正成为学生数学学习中的直觉性行为，因此在初中数学教学中，确实存在着强化数学应用意识培养的必要. 本文试对数学应用意识的培养提几点个人看法.

数学应用意识存在于数学知识

的形成过程当中

初中数学教学是一个什么样的过程？不同的教学者可能有不同的认识，但如果从数学学科的本质来看（也就是不要太多地考虑应试，而事实上如果数学应用真正到位，应试的问题是可以迎刃而解的），数学学习的过程应当是这样一个过程：首先，用数学知识去组织经验材料；其次，用数学逻辑去理解经验材料；最后，利用数学理论去理解经验材料. 这三个过程其实都指向数学知识形成的过程，也指向学生构建数学知识的过程，当然也指向数学应用意识的培养. 具体来说包括这样几个层面的理解：

其一，在数学概念构建的过程中，如果能够更多地提供知识的形成背景，那就可以培养学生的数学应用意识. 这个工作可以从初一时就做起，如初中数学首先要学的就是有理数，那么我们为什么要建立有理数这个概念呢？教师可以向学生介绍有理数的历史，让学生认识到其实是社会的发展与推动，使得数必须得到扩展，因而就必须在原来的正数基础上引入负数，并建立范围更广的有理数概念. 其实，在初中数学学习中，对于数的认识必须强调数学应用，因为类似于向学生介绍数的发展史的过程，可以让学生知道数及数学的发展往往都来自某种应用的需要，反过来，所学的数学知识也总能解决某些应用需要. 这种建立在直接的数学与应用两者联系基础上的教学，显然可以促进学生数学应用意识的形成.

其二，数学知识的形成过程原本就是一个系统化的过程，基于系统论的认识，数学应用在其中也有着重要的体现. 初中数学内容中，有一部分知识是无法在真正的现实情境中形成的，需要对实际情形作一些理想化的处理，使得学生的数学思维过程更加清晰，但这并不意味着数学应用的淡化，相反，在此过程中强化数学应用意识可以使学生更好地形成数学学习的动机，而这可以视作是数学应用意识的隐性培养方式. 比如在“多项式与多项式相乘”的教学中，教师可以给学生提供这样一个情境：某校需要扩建操场，已知操场原来的长和宽分别是a和b，现在要使其长和宽分别增加m和n，那后来的面积是多少？这个问题来源于实际，但又不完全受实际中一些无关条件的约束，因此成为一个源于实际的清晰的数学问题. 学生很直觉地通过画图表示问题中的数据，也很容易就列出了（a+m）（b+n）的表达式，在此基础上教师可以追问，还有其他的表达形式吗？于是学生继续钻研，结果想到了ab+an+bm+mn的表达形式. 于是下面的教学就水到渠成了.

教学中笔者常常注意到这样一个细节，那就是在这两个结果得出之后，大部分学生还没有意识到这两个表达式之间的关系，而在笔者的进一步提醒之后，他们才有一种恍然大悟的感觉：咦？原来两者之间竟然是相等的关系啊！这样的感觉在此前常常被笔者理解为学生的反应速度不够快. 但在数学应用的视角之下，笔者发现其实这是一个很好的解释机会，解释什么？解释学生的数学应用意识培养问题. 笔者跟学生强调：离开了这个具体的例子，这个多项式相乘的关系还成立吗？这个关系是怎样被我们发现的？这告诉了我们什么？

对于这三个问题的回答，笔者尤其强调后两个问题之间的联系，必须引导学生认识到一些数学规律的发现，可以通过具体情境中对问题的分析获得，这就是一种数学应用的直接体现.

数学应用意识的培养应当贯穿

数学学习过程

数学应用不应当成为教学的点缀，数学应用应当贯穿整个初中数学学习的过程，这也是笔者在教学中形成的一个认识. 笔者注意到，真正在数学应用中生成数学认识的过程，学生非常喜欢. 而一段时间后的考试评价也常常可以发现一种对应关系，那就是通过数学应用得到的数学知识，学生的印象总是相对更为深刻，应用起来也更得心应手. 当然，这里也有部分学生的记忆效果与应用能力表现一般，继续调查之后发现他们对当时形成这一知识时的应用过程已经没有印象了. 这或许可以从反面证实数学应用之于学生建构知识的价值.

那么，数学应用意识的培养如何有效地贯穿学生的整个数学学习过程呢？笔者以为可以从如下几个方面作出努力.

其一，数学应用意识应当成为教学目标的组成部分. 在通常的教学设计中，数学应用容易缺席，或者即使有也只是纸面点缀，难以成为具体的教学行为. 但如果真正建立这个意识，会发现其可以成为数学教学的一个脉络. 分析初中数学教材可以发现，从有理数到整式，从方程到几何图形，从相交线、平行线到平面直角坐标系，从二次函数到圆再到概率初步，都有丰富的数学应用的知识，因此从数学知识构建的本身来看，数学应用意识的培养应当成为目标组成部分.

其二，数学应用意识的培养应当出现在数学知识构建的情境当中. 进入课程改革以来，特别强调教学情境的作用，这说明现在的教学更多的重视学生的主动建构活动，而学生的主动建构活动离不开情境中具体问题的驱动，这种具体问题往往就来自于数学应用，如学习圆的性质时，通常可以向学生提供生活中的一些圆，如摩天轮、自行车的轮圈、呼啦圈、天上的明月等，基于这些直接的认识，可以提出一个数学应用性问题：如何画出一个圆？这个问题的解决显然不是让学生思考到一种方法即可，而是让学生想出多种方法来画圆. 这个要求的提出，可以让学生在思维中构建多种画圆的办法，而在对这些方法进行分析与综合的过程中，学生就可以初步意识到不同方法所画出的圆有着共同的特征，如圆上各点到圆心的距离相等，反之亦成立；又如等长的弦对应的弧长亦相等等. 此时这些等量关系的成立，往往不是严密的数学证明结果，而是学生的直觉. 要知道，这种直觉一旦被证实之后，学生会无比喜悦，这种学习热情可以驱动学生在很长一段时间里对数学学习感兴趣. 而回过头来看，这不正是数学应用的效果吗？

其三，数学应用应当出现在数学评价的过程中. 数学评价对学生的影响极大，在数学评价中渗透数学应用，对于学生应用意识的培养也有明显的作用. 经过实践，笔者总结出了数学评价促进应用意识培养的两个基本途径：一种是日常教学中的评价，这有点类似于上面提到的数学关系出来之后，引导学生进行反思的相关问题，即让学生明确意识到一些数学知识的形成是来源于数学应用的；另一种就是考试评价中的应用意识培养，也就是在试卷上要多出现应用型的试题，且其答题不能局限于列式求解，而应当让学生更多地通过对应用的分析去寻找解题的方法，然后选择恰当的数学工具解题. 尤其在阶段性的考试中，让学生从更广泛的知识中去寻找相应的工具分析实际问题，更有利于培养学生的数学应用意识，而有了这种意识之后再去解题，对提高解题能力也极有帮助.

通过数学实践活动来培养学生

的数学应用意识

数学实践活动是一种重要的学习方式，数学实践本身就有浓郁的应用意识. 初中数学学习过程中，实践活动往往并不占主流，但如果结合某一个具体的知识，利用几个课时的时间去完成一个实践活动，那对于激发学生的学习兴趣、提高学生的数学素养来说，意义不言而喻.

而寻找数学实践活动中应用意识的培养则几乎是一件触手可及的事情. 简单如圆的学习之前的旋转实践活动，就可以给出一课的一半左右的时间，让学生自己去摸索图形在旋转过程中表现出来的性质，这可为圆的知识建构奠定基础. 笔者称此为“微型实践活动”，占时不多，效果不错，对于培养学生的应用意识来说，也很有作用.