陶蕊

[摘 要] “以学生发展为本，人人获得良好的数学教育、不同的人在数学上得到不同的发展”是我们在数学教学中必须体现的新课程理念，这就需要我们正确把握学生的起点，了解学生，研究学生，读懂学生. 错例为我们研究学生提供了一个独特的视角. 它是学生思维的真实暴露，是学习知识的第一反馈，蕴藏着丰富的教学资源，具有巨大的研究价值. 本文就以一题为例浅谈错例分析在高中数学教学中应用的实践与探索.

[关键词] 错例分析；实践；探索

概念的界定

错例分析：以学生错例为载体，从错因探究、解法探究、评价与反思、拓展与记录等方面剖析错例，帮助学生完善知识漏洞、优化解题方法、排除思维障碍，优化思维品质、提升解题能力，促进教师专业成长.

现阶段错例分析在教学中应用的现状

（一）对待错例没有正确的态度，导致产生恐错心理

师生没有正确的错误观，学生的错误往往被视为恐怖的东西，一味地排斥抵制它的产生，造成学生心理的、精神的不安全感，控制思维与想象的自由，使错误成为失败的根源.

（二）学生对错例不重视，导致一错再错？摇

学生对待错例不够重视，不知自己真正错误的原因，导致知识的不完善，方法的不优化，遇到同类问题，依然是一错再错.

（三）教师蜻蜓点水式的错例研究，导致资源浪费

部分教师对错例的研究仅仅局限在表面、蜻蜓点水，没有深入地挖掘错例背后的教学价值，使得错例没有得到合理的开发与利用，导致极好的教学资源白白浪费.

（四）错例的记录与监督的力度不够，导致资源浪费

部分教师有研究错例的意识，但是对错例的监督力度不够，没有将错例记录在案，没有合理的检测机制，导致资源浪费.

错例分析的目的与意义

（一）树立正确的错误观

错例分析有利于端正师生对错误的态度，形成正确的错误观. 正视错误、挖掘在错误解决过程中的积极因素，激发学生的积极学习情感，促进学生和谐发展.

（二）帮助学生修补知识漏洞，排除思维障碍，优化思维品质

以错例为载体引导学生从错中求知、从错中探究，在错误中完善知识体系，修补知识漏洞，让学生在纠错、改错中排除思维障碍，感悟道理，领悟方法，优化思维品质，实现创新.

（三）促进教师改进教学，提升业务水平

通过错例分析，教师可以窥见自己教的不足，可以发现学生学的缺漏，从而及时调整教学策略，有效开展教学补漏.

（四）形成错例资源库，实现资源共享

以错例分析为载体，指导学生建立数学错题集，还可以借助网络系统建立错题资源库，将平时易错的问题进行归类整理，举一反三. 并将其上传资源库，同时在资源库中还可以共享别人的易错问题，防止自己犯错，起到借鉴、共勉的效果.

错例分析在高中数学教学中应用的实践与探索

差错人皆有之，而作为教师，对学生的错误不加以利用，则是不能原谅的.错误在学生的学习中随处可见，是其成长过程中无法回避的. 教师要正视学生的错误，把教学的目光锁定在学习中出现的错误，透析错题背后所蕴含的价值，加以研究、开发与利用，将学生的错误变成宝贵的教学资源，发挥其宝贵的教学价值. 下面就以一题为例浅谈笔者在教学中对错例分析的实践与探索.？摇

案例呈现：设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程. （试题来源于必修2，作业本63页第9题）

（一）错因探究，创建探究课堂

布鲁纳说：“学生的错误都是有价值的.” 学生出错的原因也是有价值的，挖掘错误背后的教学价值，在学生的错误中能够暴露出学习中薄弱的地方，暴露出知识的漏洞. 教师要立足学生，与学生一起探究错误的原因，即为什么会出现这样的错误？只有找出错误的症结所在，对症下药，才能帮助学生完善知识漏洞，才能使学生在以后的学习中避免一错再错.？摇

1. 错例展示，暴露思维历程

记录学生在解决问题中的错误解法，展示学生的思维过程.在错例中寻找共性与个性，利用学生的错例帮助一部分学生纠错，也帮助一部分学生防范错误，能起到防微杜渐的作用. （见表1）

2. 探讨纠错，消灭错误根源

皮亚杰说：“学习是一个不断犯错误的过程，同时又是一个不断通过反复思考找到错误的缘由并逐渐消除错误的过程.” 这使我们不难发现：（1）学习是一个比较长的、不断的纠错过程，纠错是学习中不可缺的一部分，是达到学习目标的一种有效手段；（2）纠错行为的主体应该是学习者本人. 所以在平时错题讲解中要设立纠错环节，给学生提供纠错的机会，满足学生的心理需求. 让学生在互相争辩、讨论中逐渐认识到错误的根源，发现问题的本质，找到解决问题的方法，探求其产生错误的内在因素，将知识内化.

学生：解法1中由a-2=得出a+1=1，还有可能是a-2=0，所以a=0或a=2.？摇

教师点评：这类学生的错误主要是转化不等价，等价转化是高中数学中非常重要的思想方法，在做题时大部分题目致错根源在于进行了不等价转化，所以在平时做题时要有意识地关注自己是否是等价转化.

学生：解法2中还有可能是截距为0，也就是直线可能是过原点的. 所以将原点带入直线方程（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），可得2-a=0，所以a=2.

教师点评：这类学生是对截距的概念理解有误，学习数学概念时，经常会出现由于理解不正确或不全面，缩小或扩大了概念的内涵或外延. 这类错误的原因多是：对数学概念未能真正理解或相近概念互相混淆等，本题中截距可正、可负、也可为零.

（二）解法探究、优化思维品质

鲁迅说：“一千个读者，就有一千个哈姆雷特.”不同的学生在处理同一问题时也会有不同的处理方法. 因此教师在面对学生的错误时要立足于学生、正视学生的差异，从学生不同的解法中发现学生思维的漏洞、误区，引导学生在错误中寻求到正确的方向，促进学生的思维水平有层次、有步骤地向更优化的方向发展. 教师要善于将学生体现出的好思路、好方法进行整理归类，及时点化，起到画龙点睛的作用. 引导学生在差异解法中取长补短，在差异中丰富和拓展自己，用这种差异性资源促进教学主体间的互动、协作和教学相长. （见表2）

教师：本题上述两种解法已经得到修正，除此之外有无其他解法呢？

学生：本题中的直线（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）可化为a（x-1）=-x-y-2，令x-1=0，-x-y-2=0得x=1，y=-3，所以直线过定点（1，-3）.

又因为截距相等，所以直线过原点或斜率为-1，所以直线方程为y+3=-（x-1）或y+3=（x-1）=-3（x-1），？摇？摇即y= -x-2或y=-3x.

以错例分析为载体，开展一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有利于调动学生的学习积极性，在教师的启发、引导下，对一道题学生可能提出两种、三种甚至更多种解法，课堂成为同学们合作、争辩、探究、交流的场所，它能极大提高学生的学习兴趣；有助于拓宽解题思路，提高学生的发散思维能力和分析问题、解决问题的能力. 因此在错例分析中教师要有意识启发、诱导学生从不同的角度去思考，多方探求，择优选取，培养学生的创新意识和创新思维能力，帮助学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力.

（三）错例评价，培养学生的思维能力

1. 学生评价，提高思维能力

现代教学论认为：学生在课堂中不仅要主动参与学习活动，还应参与对学习成果的评价. 如果缺少评价，就是不完全的学习. 但如果结论都需要他人点拨，教师讲解才能得到，就限制了学生的思维空间. 有一些学生，过分依赖互评和他评，造成在老师讲解时会做，在他人指点后会做，可到了要自己独立完成时却无从下手、屡屡出错的现象，而这样的学生平时往往就缺少“自评”的体验. 因此，教师要在错例互评、他评的基础上多鼓励和提倡学生自我评价错例，让学生在思索、感悟、内化的过程中，提高思维能力.

解法1的学生自评：我的方法主要错在忽略了截距可以等于零，运算中转化不等价，导致了漏解，相对于解法2与3，我的解法可能计算量大了一些.几何法会更好一些.

2. 教师评价，促进学生发展

这是指以促进学生发展为基点，对学生在解题中呈现出的偏差或失误及好的思路与方法、情感、态度等给予合理的评价，挖掘其教育教学价值，帮助学生修正偏差、完善自我、发展能力.

教师评价：三种解法体现三种不同的思路.解法1体现代数计算，由截距的概念计算出截距，令其相等即可求出直线方程；解法2与3体现了数形结合思想，从图形的角度得出截距相等的两类直线特征：过原点或斜率为-1，从而求出直线方程. 三种方法体现了数学的两个方面：代数与几何. 所以在做数学题时一定要数形结合，相对代数来说几何法更简单.

（四）错例反思，提升能力

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学思维活动的核心和动力. 在新课程实施中，教师需要成为反思型教师，学生需要成为反思型学生. 反思是一种习惯和意识，不断反思，才会不断进步. “教学相长”提醒我们要学会反思差错，师生在课堂中共同成长，创建美丽的课堂.？摇

1. 学生反思，提升数学能力

美国教育家杜威指出：“真正思考的人从自己的错误中汲取知识比从自己成就中汲取的知识更多，错误与探索相联姻，相交合，才能孕育出真理.” 教师要以错例为载体，帮助学生学会反思，反思自己犯错的原因、反思问题的解法等，并且通过分析原因找出自己在学习上的不足、弥补漏洞，优化解法，提升数学能力.？摇

2. 教师反思，促进专业成长？摇

美国教育心理学家波斯纳提出了一个教师成长公式：教师成长=经验+反思.在新课程形势下，一个称职的教师，决不能“教书匠”式地“照本宣科”，而要在教学中不断反思，不断学习. 反思学生解题中所暴露出的问题，调整教学方向，修正自身的不足之处，提升教学的有效性.

（五）错例变式拓展，提升能力？摇

将错例从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景进行变式，从而暴露问题的本质特征，揭示不同知识点之间的内在联系，通过变式错例，可达到一题多用、一题多解、一法多用、多题归一的效果，提升学生解题能力.

设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.

变式拓展1：设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若直线与两坐标轴围成面积为4的三角形，求l的方程.

变式拓展2：设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），当原点到直线l的距离最大时，求l的方程.

（六）错例记录，资源共享

1. 教师记载错例，促进有效教学

错例是教师教学的第一手资料，是宝贵的教学资源.要将典型的错例记录在案，形成资源，实现共享. 利用错例，教师就能了解该知识点上学生可能出现的错误，目标设定与教学设计时的针对性大大增强；利用错例，教师能反思自身的不足，调整教学策略；利用错例不定期地对学生进行对比练习，强化训练，大大提升教学的有效性.

2. 学生整理错例，降低出错率

以错例分析为载体，指导学生收集错题，并将错题归类整理；建立错题集，用好错题集. 一本好的错题集就是自己知识漏洞的宝典，就是重要的复习资料，经常翻看错题集，反思自己错误所在，可以大大降低学生的错误率. 虽然每位学生的错题集不尽相同，但是学生的错题集的优点是可以相互借鉴的，交换错题集就是实现了资源共享.

富兰克林说：“宝贝放错了地方便成了废物.” 学生的错例就是教学中的“宝贝”，教师要将这个“宝贝”当作一种教育的契机，将“宝贝”放在合适的位置，积极地分析与利用这个“宝贝”，努力让这个“宝贝”成为课堂教学的一个亮点，发挥其应有的价值，变成宝贵的课堂教学资源. 优化课堂教学，提高课堂教学效益.