刘灯明

(湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411201)



解析函数泰勒展开的一种新方法

刘灯明

(湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411201)

[摘要]解析函数的泰勒展开是复变函数论中的一个重要内容，利用线性常微分方程的幂级数解，可以简洁地求得一些复杂解析函数的泰勒展式。

[关键词]解析函数；泰勒展开；常微分方程幂级数解

解析函数的泰勒展开是复变函数论课程中的一个重要知识点，内容灵活多变，学生较难掌握.要求解析函数f(z)在z=z0点的泰勒展开式，可由泰勒定理直接求解，即从已知的f(z)，求出fn(z0)，从而求出泰勒系数.但很多时候，任意阶导数的计算比较复杂，甚至无法进行.大部分情况下，需要根据泰勒展式的唯一性，利用已知的泰勒展式(如ez、sinz、cosz、ln(1+z)、(1+z)a等常见初等函数的泰勒展式)，经过一定的处理(如变量代换、部分分式、级数的乘除运算、逐项求导或求积等)之后，求得f(z)的泰勒展开[1].本文从另外一个角度，即利用线性常微分方程的幂级数解来对一些复杂解析函数的泰勒展开式进行讨论.

1利用常微分方程的级数解求泰勒展式的理论依据

定义1如果方程

(1)

的系数p(z)在点z0及其邻域内是解析的，则点z0称为方程(1)的常点.若p(z)在点z0不解析，则称z0为方程(1)的奇点.

定义2如果方程

(2)

的系数p(z)和q(z)都在点z0及其邻域内是解析的，则点z0称为方程(2)的常点.若系数p(z)或q(z)在点z0不是解析的，则称点z0为方程(2)的奇点.

定理1如果p(z)在圆|z-z0|

f(z0)=a0，a0为任意常数.

(3)

且f(z)在此圆内是解析的.

证明作函……