刘琼玉

本题源自于2013年重庆高考卷理科数学第10题，属中等偏难档次题，考查了平面向量模长的运算，由于该题技巧性较强，大部分考生很难找到解题的突破口，所以得分率不是很高.为此，笔者从三个视角对此题进行了深入探究，总结出了多种解法.

题目（2013年重庆）在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2.若|OP1|<12，则|OA|的取值范围是

A.（0，52]B.（52，72]C.（52，2]D.（72，2]

视角1根据所给条件的垂直关系，不妨建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决问题.

解法1（坐标法）

因为AB1⊥AB2，所以可以以A为原点，并分别以AB1，AB2所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

设B1（a，0），B2（0，b），O（x，y），

则AP=AB1+AB2=（a，b），即P（a，b）.

由|OB1|=|OB2|，得（x-a）2+y2=x2+（y-b）2=1，

所以（x-a）2=1-y2≥0，（y-b）2=1-x2≥0.

由|OP|<12，得（x-a）2+（y-b）2<14，

即0≤1-x2+1-y2<14，

所以74

所以|OA|的取值范围是（72，2]，故选D.

视角2根据题意，不妨将题目所给条件全部转化为以O点作为起点的基向量表示，再利用所给关系列出不等式求解.

解法2（基向量法）

因为AB1⊥AB2，所以AB1·AB2 =0，

所以（OB1-OA）·（OB2-OA）=0，

所以OB1·OB2=OA·（OB1+OB2-OA）.

因为AP=AB1+AB2，

所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA，

所以OP=OB1+OB2-OA.

又|OB1|=|OB2|=1，

所以OP2=OB21+OB22+OA2+2OB1·OB2-2（OB1+OB2）·OA=12+12+OA2+2OA·（OB1+OB2-OA）-2（OB1+OB2）·OA=2-OA2.

又因为|OP|<12，所以0≤2-OA2<14，

所以74

故选D.

视角3根据题中所给的条件，挖掘向量问题的几何背景，将数量关系转化为几何关系，不妨尝试构造几何模型来解决向量问题.

解法3（构造圆）

由题意得点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为12的圆内，又AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P点与O点重合时，|OA|最大，最大值为2，当P点在半径为12的圆周上时，|OA|最小，最小值为72，故选D.

解法4（构造矩形）

由AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，

可知四边形AB1PB2为矩形，如图1所示.

由|OB1|=|OB2|知点O在线段B1B2的垂直平分线上.在矩形AB1PB2中，易证|OA|2+|OP|2=|OB1|2+|OB2|2，从而0≤|OP|2=2-|OA|2<14，

所以72<|OA|≤2，故选D.