代数中“生成”概念的教学思考

赵正俊

(安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246011)

[摘要]由从事代数教学的经验出发，探讨了代数中一组向量生成线性子空间、一组元素生成子群、子环，以及环(或者域)添加元素所生成的扩环(或者扩域)这些概念的教学，强调“生成”概念由“最小”的角度的解释的重要性.另外，从“最小”观点解释整环扩张所生成的分式域出发，揭示了分式化、代数扩域、代数闭包及整闭包等概念的“生成”实质.

[关键词]生成； 最小； 代数教学； 线性子空间

[收稿日期]2015-01-31

[基金项目]国家自然科学基金(11326052)； 安庆师范学院科研启动基金

[中图分类号]G47[文献标识码]C

1引言

大学数学系课程中代数的内容存在着一些对初学者来说较难理解的知识点，其中比较典型的如“生成”这一概念.关于它最为常见的例子有：在一个线性空间中，选取一组向量，由这组向量生成的线性子空间；在一个群(或者环)中，一组元素生成的子群(或者子环)；环(或者域)添加元素所生成的扩环(或者扩域)，整环扩张所生成的分式域等等.由此可见“生成”无疑是研究代数系统的一个重要的方法.实质上，这种方法不仅限于代数.比如在拓扑学中给定某集合的一族子集S生成的拓扑，实际上即为包含S的“最小”拓扑.

初学者最大的问题是首次看到这些概念不知道这些“生成”的代数系统中大致该有哪些元素，知道该代数系统的具体内容后又不知道为什么有这些元素.

本文作者在实……