环F2+uF2+…+ukF2上的Type Ⅱ码

王永1,2

(1.合肥工业大学数学学院，合肥230009；2.安徽省肥西中学，合肥231200)

[摘要]给出一种构造环F2+uF2+…+ukF2上任意偶数长度的自正交和自对偶码的方法.定义了环F2+uF2+…+ukF2的每个元素的Euclidean重量并且证明了环F2+uF2+…+ukF2上的自对偶码是Euclidean重量为2k+2倍数的Type Ⅱ码.

[关键词]自对偶码； 自正交码； Euclidean重量； Type Ⅱ码

[收稿日期]2014-03-11

[中图分类号]O157.4[文献标识码]C

1引言

多项式剩余类环的结构介于有限域和环之间，因其具有良好的性质，其上的纠错码理论研究也引起了编码学者的关注.其上的码被广泛加以研究[1-5].自对偶码是一类非常重要的线性码，许多最优的线性码都来源于自对偶码.此外，自对偶码具有丰富的数学性质，可用于区组设计、模格构造等.因此自对偶码备受关注.近年来，多项式剩余类环上的自对偶码的研究也颇多.Bonnecaze等人在[6]中研究环F2+uF2上的循环码及其对偶码.

自对偶码中有一类码称为Type II码，其具有很好的性质，因此更是人们研究的重点.文献[7]研究了环F2+uF2上的Type II 码，随后Ling等人[8]将其推广到环F4+uF4.Bestumiya等人[9]将其推广到更为一般的环F2m+uF2m上.钱建发等人[10]将[7]的结论推广到环F2+uF2+u2F2.最近，Cengellenmis[11]定义了环F2+uF2+…+umF2(m=2s)上的Type II码，并研究了其Gray象的性质.

本文首先给出环F2+uF2+…+ukF2上任一偶长的自正交和自对偶码的构造方法，然后通过定义环F2+uF2+…+ukF2中的每个元素的Euclidean重量证明了环F2+uF2+…+ukF2上自对偶码是Euclidean重量为2k+2倍数的Type Ⅱ码.

2基础知识

设环

R=F2+uF2+…+ukF2，

其中uk+1=0.显然

F2+uF2+…+ukF2=F2[u]/(uk+1).

环R是一个最大理想是(u)的有限链环.任意的x∈R，x都可以唯一的表示为

x0+ux1+…+ukxk，

其中xi∈F2，i=0，…，k.

对于任意

x=(x0，x1，…，xn-1)，y=(y0，y1，…，yn-1)∈n，

定义它们的内积为

x·y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1.

如果两个码字x·y=0，称这两个码字……