一道全国大学生数学竞赛试题的解法及推广

王永喜1，王泽文1，刘冰2，邱淑芳1

(1.东华理工大学理学院，南昌330013；2. 南昌二中，南昌330038)

[摘要]给出了一道全国大学生数学竞赛试题的三种解答， 在此基础上研究了三角形三内角正弦的线性和最大值问题， 从而推广了竞赛试题中的结论. 最后， 研究了三内角正弦的指数之积以及余弦的指数之积的上界问题.

[关键词]大学生数学竞赛； 三角形； 嵌入不等式； 正弦定理； 余弦定理

[收稿日期]2014-11-15

[基金项目]江西省高等学校教学改革研究课题(JXJG-13-6-7); 江西省青年科学家培养计划(20122BCB23024); 江西省自然科学基金(20142BAB201008)

[中图分类号]O151.2[文献标识码]C

考虑2011年第三届全国大学生数学竞赛(数学类)的一道赛题:

对于△ABC， 求3sinA+4sinB+18sinC的最大值.

解法1该解法是依据全国大学生数学竞赛组委会给出的参考解答给出的， 但有所不同.

三角形三个角A，B，C的取值范围为

(A，B，C)∈D≡{(α，β，γ)|α>0，β>0，γ>0且α+β+γ=π}.

首先， 考虑3sinA+4sinB+18sinC在D的闭包

上的最大值. 于是，有

(1)

上述过程与组委会给出的解答稍有不同， 即倒数第二步直接利用Cauchy-Schwartz不等式得到是“≤”成立， 这是因为我们认为用“=”不是直接的.考虑函数

在[0，π]上的最大值问题.对于函数f(C)， 显然有

f(C)≥f(π-C)，∀C∈[0，π/2].

于是， 由微积分中一元函数取极值的必要条件， 得

(2)

(2)式等价于

(8cosC-1)(27cos2C+32cosC+4)=0.

则有t>0且A=arctan(t)∈(0，π/2)⊂[0，π-C]. 因此， 成立

综上所述， 即得

解法2 (配凑法)直接利用Cauchy-Schwarz不等式[1]， 得

3sinA+4sinB+18sinC

=3sinA+4sinB+18sinAcosB+18sinBcosA

=3sinA(1+6cosB)+3cosA(6sinB)+4sinB

解法3因为0

3sinA+4sinB+18sinC=3sinA+4sinB+18sin(A+B).

为此， 在区域(0，π)×(0，π)上考虑二元函数

f(x，y)=3sinx+4siny+18sin(x+y)

的极值问题.由二元函数极值的必要条件， 得

(3)

(4)

整理得

(16t-9)(3t2+16t+9)=0.

(5)

对应t1有

对应t2有

又

那么

EG-F2=12sinxsiny+18sin(x+y)[3sinx+4siny].

受此启发，考虑一般的问题: 对于△ABC， 求xsinA+ysinB+zsinC的最大值. 为此，先给出著名的嵌入不……