环F2+uF2+u2F2上循环码的Gray距离

张昊

(合肥工业大学数学学院，合肥230009)

[摘要]定义了环R=F2+uF2+u2F2(u3=0)到的一个新的Gray映射.首先介绍环R上奇长度的循环码的挠码，给出了各阶挠码的生成多项式.利用一阶挠码与二阶挠码确立了R上奇长度的循环码的Gray距离.

[关键词]循环码; 挠码; Gray映射

[收稿日期]2014-03-17

[中图分类号]O157.4[文献标识码]C

1引言

1994年Hammons，Sloane等人[1]发现Kerdock码等二元非线性码可以看作是Z4环上的循环码通过Gray映射得到的二元象，由此有限环上的纠错码理论研究有了突破性发展.此后，很多学者研究不同有限环上的循环码，常循环码，负循环码等线性码的结构[2-7]，并把这些码与域上的码利用Gray映射做出对应，从而发现很多性质良好的码，文献[2]给出了Z4上负循环码及Gray象的性质.多项式剩余环作为一种结构介于环和域之间的有限环，近年来其上纠错码理论也有很大的进展.文献[3]研究了环F2+uF2上常循环码及其Gray象的性质，文献[4]研究了Fq+uFq+…+uk-1Fq上重根常循环码的Gray象.文献[5]分类了Fpm+uFpm上长度为ps所有常循环码.

2基本概念

对于一个有限环R，考虑R的n元组集合Rn.Rn中的子集C称为R上长度为n的线性码，如果它是Rn的R-子模.R上长为n的线性码C称为循环码，如果它的每一个码字x=(x0，x1，…，xn-1)∈C，那么它的循环移位(xn-1，x0，…，xn-2)∈C. 含有8个元素的环

R={0，1，u，u2，1+u，1+u2，u+u2，1+u+u2}

可以表示为

F2+uF2+u2F2，

其中u3=0.环R实质上是多项式剩余类环F2[u]/(u3)，其中F2是二元域{0，1}.容易看出，环R是极大理想为的局部环，显然，R中的任意元素r可唯一表示为

r=r0+ur1+u2r2，

其中r0，r1，r2∈F2.

定义多项式映射

引理1与文献[5]中引理2.3类似

于是存在多项式e(x)∈R[x]，有

f1g1+f2g2=1+ue，

令e0=ue(1+ue)∈R[x]，有

e0(f1g1+f2g2)=ue，

于是

(1-e0)f1g1+(1-e0)f2g2=1，

即f1，f2互素.必要……