反常二重积分收敛性的判定

刘继成，王湘君

(华中科技大学 数学与统计学院，武汉 430074)

[摘要]华东师范大学数学系编《数学分析(下册)》教材在第21.8节介绍了反常二重积分收敛的定义、判定定理，作者发现教材中对本节内容的处理不够清晰，特别是没有给出定理21.19关于反常二重积分收敛等价于绝对收敛的直观解释.本文优化了该节的内容，理顺了反常二重积分收敛的判定方法，证明了无界区域上的二重积分转化为累次积分的定理，构造例子说明了反常一重积分收敛与反常二重积分收敛的本质区别.通过分析例子表明，在本文框架下判定反常二重积分收敛性及计算积分值是非常有效的.

[关键词]反常二重积分； 绝对收敛； 无界区域

[收稿日期]2015-03-24

[基金项目]华中科技大学自主创新研究基金(2014TS066)

[中图分类号]O172.2[文献标识码]C

通讯作者注王湘君为.

1反常二重积分收敛的定义

首先叙述无界区域上的反常二重积分收敛的定义，参见文献[1]P.279.

定义1设f(x,y)为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，f(x,y)在曲线γ所围的有界区域Eγ与D的交集Eγ∩D=Dγ上恒可积.令

若极限

存在有限，且与γ的取法无关，则称f(x,y)在D上的反常二重积分收敛，并记

(1)

2非负函数反常二重积分收敛的判定

若f(x,y)是非负的，定义1等价于只要存在一列包围原点的光滑封闭曲线序列γn，满足Eγn⊂Eγn+1且当n→∞时dγn→+∞，其中Eγ为γn所围的有界区域，f(x,y)在Dn=Eγn∩D上可积，且极限(1)存在.由被积函数的非负性及单调收敛定……