范传强，徐宏达

（辽宁石油化工大学 理学院，辽宁 抚顺 113001）

一个模糊压缩映射不动点定理

范传强，徐宏达

（辽宁石油化工大学 理学院，辽宁 抚顺 113001）

证明了一个完备距离空间中模糊压缩映射公共不动点定理，并给出了一个合理的不等式.

压缩映射；不动点；模糊集

1 准备知识

定义1 设集合X非空，若d∶X×X→[0，+∞）满足：（1）d（x，y）=0当且仅当x=y，（2）d（x，y）≤d（x，z）+ d（z，y），则称d是距离，（X，d）是距离空间.

定义2 设（X，d）是距离空间，{xn}⊂X,x∈X,称{xn}收敛于x当且仅当

X中的模糊集是域X的函数，在[0，1]取值.

定义3 若A是模糊集，x∈X,则称函数值A（x）为x在A上的类属度.令F（X）为X的全体模糊子集，Aα={x∈X∶A(x)α}是A∈F(X)的α-截集，A的0-截集是{x∈X∶A(x)>0}的闭包.

设（X，d）是线性距离空间，W（X）表示X中α-截集都为非空紧凸子集的所有模糊集的全体.

定义4[1]设A,B∈W(X),α∈[0,1]，定义

令CB（X）是由X的所有非空有界闭子集所构成的集合.

定义5[2]若T∶X→CB（X），且对任意x,y∈X，存在q∈(0,1)，使得H（T（x），T（y））≤qd（x，y），则称T是压缩映射.这里

引理1[3]设（X，d）是一距离空间,A,B∈CB(X),则对任意的a∈A，都有d（a，B）≤H（A，B）.

引理2[3]设（X，d）是一距离空间,A,B∈CB(X),则对任意的a∈A，k>0，存在b∈B，使得d（a，b）≤H（A，B）+k.

Vijayaraju和Marudai在文献[2]中得到下面不动点定理：

定理1 设（X，d）是完备距离空间，模糊映射F1，F2∶X→W（X）满足如下条件：

（1）对每一个x∈X，存在α(x)∈(0,1]，使得[F1（x）]α（x）和[F2（y）]α（y）是X的非空有界闭子集；

2010 年Akbar和Muhammad对定理1.1进行了修正[4]：

定理2 设（X，d）是完备距离空间，模糊映射F1，F2∶X→W（X），若对每一个x∈X，存在α(x)∈（0，1]，使得[F1（x）]α（x）和[F2（y）]α（y）是X的非空有界闭子集，并且

这里a1，a2，a3，a4都是非负实数，且a1+a2+a3+a4<1，则F1，F2有共同的不动点.

Park，Jeong和Cho等先后给出了如下一些模糊压缩映射不动点定理：

定理3[5]设F1，F2∶X→W（X）是满足如下条件的模糊映射：存在k∈(0,1)，使得

则F1和F2有共同的不动点.

定理4[6]设（X，d）是一完备距离空间，若F∶X→X满足：

其中α，β≥0，α+β<1，则F有唯一的不动点.

定理5[1]设（X，d）是完备距离空间，模糊映射F1，F2∶X→W（X）满足如下条件：

其中k∈(0,1)，则F1和F2有公共的不动点.

定理6[1]设（X，d）是完备距离空间，模糊映射F1，F2∶X→W（X）满足如下条件：

且x≠y其中α，β>0，α+β<1，则F1和F2有共同的不动点.

定理7[5]设F1，F2∶X→W（X）是模糊映射，若满足：存在α，β>0，使得α+β<1，

则F1和F2有一个公共的不动点.

2 主要结果

近些年，一些学者在模糊压缩映射不动点方面做出了深入的研究并且获得了一些重要成果，可参看文献[7-10].下面我们借用Vijayaraju和Marudai的概念，证明Cho的关于完备距离空间中模糊压缩映射公共不动点定理.

定理8 设（X，d）是完备距离空间，F1和F2是从X到F（X）的模糊映射，且满足下列条件：

（i）∀x,y∈X，存在α(x),α(y)∈(0,1]，使得[F（1x）]α（x）和[F（2y）]α（y）是X的非空有界闭子集；

其中a1，a2>0，且a1+a2<1，则F1和F2有一个公共的不动点.

证明 令x0∈X，由条件（i），存在，使得是X的一个非空有界闭子集.取，则存在α2∈(0,1]，使得是X的一个非空有界闭子集.因为和都是X的非空有界闭子集，由引理2，存在使得

[1]Park J Y,Jeong J U.Fixed point theorems for fuzzy map⁃pings[J].Fuzzy Sets Syst,1997:87:111-116.

[2]Vijayaraju P,Marudai M.Fixed point theorems for fuzzy mappings[J].Fuzzy Sets Syst,2003,135:401-408.

[3]Nadler S B.Multi valued contraction mappings[J].Pacific J Math,1969,30:475-488.

[4]Akbar A,Muhammad A.A note on“Fixed point theorems for fuzzy mappings”by P.Vijayaraju and M.Marudai[J]. Fuzzy Sets and Systems,2010,161:1145-1149.

[5]Cho S-H.Fixed point theorems for fuzzy mapping[J].Ap⁃pl Math Comput,2005,19:485-492.

[6]Cabrea I,Harjani J K.Sadarangani A fixed point theorem for contractions of rational type in partially ordered metric spaces[J].Ann Univ Ferrara,2013,59:251-258.

[7]范传强.模糊数值直觉模糊群的性质及一个重要结论[J].西南师范大学学报:自然科学版,2011,36(1):48-51.

[8]汪凯,王莹.（ψ,φ）-g-弱压缩映射的公共耦合不动点定理[J].西南师范大学学报:自然科学版,2014,39(4):23-26.

[9]Malhotra S K,Stojan R,Satish S.Some fixed point results without monotone property in partially ordered metic-like spaces[J].Journal of the Egyptian Mathematical Society, 2014,22:83-89.

[10]Chandok S,Khan M S,Rao K P R.Some coupled com⁃mon fixed point theorems for a pair of mappings satisfying a contractive condition of rational type[J].Nonlinear Anal Appl,2013(2013):1-6.

责任编辑：刘 红

One Fixed Point Theorem for Contraction Fuzzy Mapping

FAN Chuanqiang，XU Hongda（School of Science，Liaoning Shihua University，Fushun 113001，China）

In this paper,we prove a common fixed point theorem for contractive type fuzzy mappings and a rational inequal⁃ity in a complete metric space.

contraction mapping；fixed point；fuzzy set

O 177；O 159

A

1674-4942（2015）03-0242-03

2015-06-11

国家自然科学基金项目（61104066，61374043）