黄 瑞

（阜阳师范大学数学与统计学院，安徽阜阳236037）

点集拓扑是一般师范院校数学类相关专业的必修课程，也是后继课程，如代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑等的基础。点集拓扑的研究对象是拓扑空间，一般地，可以从“开集”、“闭集”、“邻域”、“导集运算”、“闭包运算”、“内部运算”、“基”和“子基”8个角度定义拓扑空间，即拓扑空间有8种等价的定义，现在的点集拓扑教材[1-5]更倾向于从开集角度定义拓扑空间。自然而然开集就成为了拓扑空间中特殊的子集，除开集之外，拓扑空间中还有一些特殊的子集，如闭集、连通子集、连通分支、道路连通子集、稠密子集和紧致子集等。紧致子集作为拓扑空间中一类特殊的子集，对其性质的研究具有重要意义，文献[6-7]研究了实数空间ℝ中的紧致子集的等价刻画，文献[8-10]分别研究了度量空间、伪度量空间和超距空间中的紧致性，文献[11-13]则研究了各种紧致空间及它们相互之间的关系。本文将类比连通子集的性质，系统地研究紧致子集的一些重要性质。需要说明的是文中所用的概念、符号同文献[1]。

1 预备知识

定义1[1]已知拓扑空间(X,Γ)，若(X,Γ)的每一个开覆盖都存在有限的子覆盖，则称拓扑空间(X,Γ)是紧致空间。

定义2[1]已知Y是拓扑空间(X,Γ)的子集，若Y作为(X,Γ)的子空间是紧致空间，则称Y是拓扑空间(X,Γ)的紧致子集。

引理1已知拓扑空间(X,Γ)，A⊂Y⊂X，则A是(Y,Γ|Y)的紧致子集⇔A是拓扑空间(X,Γ)的紧致子集。

证明A是(Y,Γ|Y)的紧致子集⇔(A,Γ|Y|A)=(A,Γ|A)是紧致空间⇔A是拓扑空间(X,Γ)的紧致子集。

引理2有限集上定义的任意一个拓扑空间必是紧致空间。……